首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r()=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r()=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2022-04-02
110
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(
)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
. 设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,……,β
n-r
为方程组AX=b的一组解. 令是k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即 (k
0
+k
1
+…+k
-n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0, 因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=……=k
n-r
=0, 故β
0
,β
1
,β
2
,……,β
n-r
线性无关,即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β
1
,β
2
,……,β
n-r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ
1
=β
2
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
1
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的, 所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/O2R4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
已知线性方程组有无穷多解,求a,b的值并求其通解。
已知a1=(-1,1,a,4)T,a2=(-2,1,5,a)T,a3=(a,2,10.1)T是四阶方阵A的属于三个不同特征值的特征向量,则a的取值为().
设矩阵A=,则A与B().
已知方程组有解,证明方程组无解.
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得
已知问λ取何值时,(1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表达式唯一;(2)β可由α1,α2,α3线性表出,但表达式不唯一;(3)β不能由α1,α2,α3线性表出.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
将n个观测数据相加时,首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数。试利用中心极限定理估计:估计数据个数n满足何条件时,以不小于90%的概率,使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数规.
已知下列非齐次线性方程组:当方程组中的参数m,n,t为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)同解.
随机试题
患儿男性,7岁,小学2年级。母亲反映自上小学1年级起患儿上课注意力不集中,易分心,小动作多,作业拖拉,粗心大意,丢三落四,话多,插嘴,经常招惹同学。学习成绩波动明显。打骂、说服教育均无效。近6个月经常眨眼,缩鼻子,提醒后无改善。主要的治疗措施为
患者,女,27岁,患胃下垂病史,近日脘腹坠胀,隐隐作痛,食后尤痛,纳呆。用药宜首选
钢筋的安装可采用散装和整装两种方式。其中散装法的特点是()。
管理人召集基金份额持有人大会的,应至少提前()日公告大会的召开时间、会议形式、审议事项、议事程序和表决方式等事项。
风险预警的主要方法有()。I.定量评估法Ⅱ.评级方法Ⅲ.信用评分方法Ⅳ.统计模型
下列关于天体系统的说法中错误的是()。
一、注意事项1.申论考试是对应试者阅读理解能力、分析综合能力、提出和解决问题能力及语言文字表达能力的测试。2.作答参考时间:阅读材料40分钟,作答110分钟。3.仔细阅读所给定的资料,按照后面提出的“申沦要求”依次作答。二、给定
在我国古代农业生产发展过程中,从一定程度上直接破坏了生态平衡的是()。
看见医生接诊每位患者时都更换了手套就认为防护措施做得比较规范,其实除了更换手套外还应进行()。
甲公司生产“美多”牌薰衣草保健枕,“美多”为注册商标,薰衣草为该枕头的主要原料之一。其产品广告和包装上均突出宣传“薰衣草”,致使“薰衣草”保健枕被消费者熟知,其他厂商也推出“薰衣草”保健枕。后“薰衣草”被法院认定为驰名商标。下列表述正确的是
最新回复
(
0
)