设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

admin2020-03-16 81

问题设y=y(x)是区间(一π，π)内过

的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

选项

答案由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有[*]，得y²=一x²+C。又[*]，代入y²=一x²+C得C=π²，从而有x²+y²=π²。当0≤x＜π时，y’’+y+x=0，得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为 y^*=C₁cosx+C₂sinx。设其特解为y₁=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y₁=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解为y=C₁cosx+C₂sinx一x。因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y｜_x=0=π，y’｜_x=0=0，故得C₁=π，C₂=1，所以 [*]

解析

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考研数学二

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设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

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