判别级数(p>0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛).

admin2018-11-21  31

问题 判别级数(p>0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛).

选项

答案为判断其是否绝对收敛,采用极限形式的比较判别法,由于 [*] 所以,当p>1时,级数[*]绝对收敛;而当p≤1时,该级数不绝对收敛. 下面介绍几种方法讨论0<p≤1时,是否条件收敛. 考察部分和Sn=[*](n≥2)的极限是否存在.先考虑部分和数列的奇数项,即 [*] 注意到等式右端的每一项[*]都是正的,所以S2n+1<0,而且单调递减.又由于 [*] 亦即S2n+1>[*],这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的,所以其极限存在,设[*]S2n+1=S.又由于[*](S2n+1—u2n+1)=S,即[*]Sn=S,亦即级数[*]的部分和数列收敛,所以该级数收敛.特别,这说明0<p≤1时,该级数条件收敛.

解析 对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛.这里un≥un+1不总是成立的,也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足.这样,当其不是绝对收敛时,莱布尼兹判别法也不能使用,可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质.
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