判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．

admin2018-11-21 48

问题判别级数

(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．

选项

答案为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于 [*] 所以，当p＞1时，级数[*]绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和S_n=[*](n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即 [*] 注意到等式右端的每一项[*]都是正的，所以S_2n+1＜0，而且单调递减．又由于 [*] 亦即S_2n+1＞[*]，这就说明{S_2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设[*]S_2n+1=S．又由于[*](S_2n+1—u_2n+1)=S，即[*]S_n=S，亦即级数[*]的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．

解析对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里u_n≥u_n+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．

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考研数学一

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