已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )．

admin2021-01-14 73

问题已知四维列向量α₁，α₂，α₃线性无关，若向量β_i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α₁，α₂，α₃均正交，则向量组β₁，β₂，β₃，β₄的秩为( )．

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案A

解析设α_i=(α_j1，α_j2，α_j3，α_j4)^T(j=1，2，3)，由已知条件有
β_i^Tα_j=0(i=1，2，3，4；ji=1，2，3)，
即β_i(i=1，2，3，4)为方程组

由于α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β₁，β₂，β₃，β₄的秩为1，选(A)．

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