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设A为m×n矩阵,且r(A)=r()=r<n,其中=(Ab). (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解; (Ⅱ)若有三个线性无关解,求a,b的值及方程组的通解.
设A为m×n矩阵,且r(A)=r()=r<n,其中=(Ab). (Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解; (Ⅱ)若有三个线性无关解,求a,b的值及方程组的通解.
admin
2019-07-10
89
问题
设A为m×n矩阵,且r(A)=r(
)=r<n,其中
=(A
b).
(Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解;
(Ⅱ)若
有三个线性无关解,求a,b的值及方程组的通解.
选项
答案
(Ⅰ)令ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
…为AX=0的基础解系,η
0
为AX=b的特解,显然β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
为AX=b的一组解,令k
0
β
0
+k
1
β
1
…+k
n-r
β
n-r
=0,即 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
+(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
=0. 上式左乘A得(k
0
+k
1
…+k
n-r
)b=0,因为b≠0时,k
0
+k
1
…+k
n-r
=0,于是k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,因为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
为AX=0的基础解系,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,于是k
0
=0,故β
0
,β
1
,…,β
n-r
线性无关. 若γ
0
,γ
1
,…,γ
n-r+1
为AX=b的线性无关解,则ξ
1
=γ
1
-γ
0
,…,ξ
n-r+1
=γ
0
为AX=0的解,令k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r+1
=0,则 k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
n-r+1
γ
n-r+1
-(k
1
+k
2
+…+k
n-r+1
)γ=0. 因为γ
0
,γ
1
,…,γ
n-r+1
线性无关,所以k
1
=k
2
=…k
n-r+1
=0,即ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r+1
为AX=0的线性无关解,矛盾,故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解. (Ⅱ)令[*] 则[*]化为AX=β. 因为AX=β有三个非零解,所以AX=0有两个非零解,故4-r(A)≥2,r(A)≤2,又因为r(A)≥2,所以r(A)=r([*])=2. [*] 则a=-3,b=-1. 由[*]得原方程组的通解为 X=[*](其中k
1
,k
2
为任意常数).
解析
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0
考研数学二
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