设A为n阶矩阵,证明:r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT.

admin2018-05-22  45

问题 设A为n阶矩阵,证明:r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβT

选项

答案设r(A)=1,则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例, 令A=[*],于是A=[*](b1,b2,…,bn),令α=[*] 故A=αβT,显然α,β为非零向量.设A=αβT,其中α,β为非零向量,则A为非零矩阵,于是r(A)≥1,又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1,故r(A)=1.

解析
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