2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关。

admin2019-01-19  63
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关。
选项
答案设有常数λ0，λ1，λk-1，使得 λ0α+λ1Aα+…+λk-1Ak-1α=0， 则有 Ak-1(λ0α+λ1Aα+…+λk-1Ak-1α)=0， 从而得到λ0Ak-1α=0。由题设Ak-1α≠0，所以λ0=0。 类似地可以证明λ1=λ2=…=λk-1=0，因此向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的。
解析
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考研数学三

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