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设n为正整数,f(x)=,求导数f(2n+1)(0).
设n为正整数,f(x)=,求导数f(2n+1)(0).
admin
2021-07-02
85
问题
设n为正整数,f(x)=
,求导数f
(2n+1)
(0).
选项
答案
[*] [*] 即(1+x
2
)f’’(x)+xf’(x)=0,方程两边对x求n-1次导,并利用莱布尼茨公式,得 (1+x
2
)f
(n+1)
(x)+2(n-1)xf
(n)
(x)+(n-1)(n-2)f
(n-1)
(x)+xf
(n)
(x)+(n-1)f
(n-1)
(x)=0 将x=0代入上式,得f
(n+1)
(0)=-(n-1)
2
f
(n-1)
(0),把n换为2n,并由此递推,得 f
(2n+1)
(0)=-(2n-1)
2
f
(2n-1)
(0), f
(2n-1)
(0)=-(2n-3)
2
f
(2n-3)
(0), ...... f"’(0)=-f’(0)=-1 因此,得f
(2n+1)
(0)=(-1)
n
[(2n-1)!!]
2
.
解析
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考研数学二
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