2. 考研
  3. 设n为正整数，f(x)=,求导数f(2n+1)(0).

设n为正整数，f(x)=,求导数f(2n+1)(0).

admin2021-07-02  54
问题 设n为正整数，f(x)=,求导数f(2n+1)(0).
选项
答案[*] [*] 即（1+x2)f’’(x)+xf’(x)=0,方程两边对x求n－1次导，并利用莱布尼茨公式，得 （1+x2)f(n+1)(x)+2(n－1)xf(n)(x)+(n－1)(n－2)f(n-1)(x)+xf(n)(x)+(n－1)f(n-1)(x)=0 将x=0代入上式，得f(n+1)(0)=－(n－1)2f(n-1)(0),把n换为2n,并由此递推，得 f(2n+1)(0)=－(2n－1)2f(2n-1)(0), f(2n-1)(0)=－(2n－3)2f(2n-3)(0), ...... f"’(0)=－f’(0)=－1 因此，得f(2n+1)(0)=(－1)n[(2n－1)!!]2.
解析
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考研数学二

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