设n为正整数，f(x)=,求导数f(2n+1)(0).

admin2021-07-02 61

问题设n为正整数，f(x)=

,求导数f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0).

选项

答案[*] [*] 即（1+x²)f’’(x)+xf’(x)=0,方程两边对x求n－1次导，并利用莱布尼茨公式，得（1+x²)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)+2(n－1)xf⁽ⁿ⁾(x)+(n－1)(n－2)f^(n-1)(x)+xf⁽ⁿ⁾(x)+(n－1)f^(n-1)(x)=0 将x=0代入上式，得f⁽ⁿ⁺¹⁾(0)=－(n－1)²f^(n-1)(0),把n换为2n,并由此递推，得 f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=－(2n－1)²f^(2n-1)(0), f^(2n-1)(0)=－(2n－3)²f^(2n-3)(0), ...... f"’(0)=－f’(0)=－1 因此，得f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=(－1)ⁿ[(2n－1)!!]².

解析

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