设f(x)二阶可导，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf"(ξ)+2f’(ξ)=0．

admin2019-08-23 41

问题设f(x)二阶可导，且

f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf"(ξ)+2f’(ξ)=0．

选项

答案由[*]得f(0)=1，f’(0)=0， f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．令φ(x)=x²f’(x)， φ(0)=φ(x)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2xf’(x)+x²f"(x)，于是2ξf’(ξ)+ξ²f"(ξ)=0，再由ξ≠0得ξf"(ξ)+2f’(ξ)=0．

解析

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考研数学一

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