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  3. 函数f(x)在点x=0的某邻域内有定义，则下列命题正确的是( )．

函数f(x)在点x=0的某邻域内有定义，则下列命题正确的是( )．

admin2022-06-04  5
问题 函数f(x)在点x=0的某邻域内有定义，则下列命题正确的是(          )．
选项 A、若f(x)在点x=0处可导，则｜f(x)｜在点x=0处可导
B、若｜f(x)｜在点x=0处可导，则f(x)在点x=0处可导
C、若f(x)在点x=0的某邻域内可导，且f’(x)在点x=0处连续，则｜f(x)｜在点x=0处可导
D、若｜f(x)｜在点x=0的某邻域内可导，且f(x)在点x=0处连续，则f(x)在点x=0处可导
答案D
解析 设f(x)=x，则f(x)在点x=0处可导，且f’(x)=1连续，而｜f(x)｜=｜x｜在点x=0处不可导，故排除(A)、(C)．
    设，则｜f(x)｜=1在点x=0处可导，而f(x)在点x=0处不可导，故排除(B)．
    分两种情况讨论(D)：
    (1)若f(0)=0，由于｜f(x)｜在点x=0的某邻域内可导，记[｜f(x)｜]’｜x=0=a，则
   
    当x＜0时，根据极限的保号性有；当x＞0时，有，所以须有
   
    所以f(x)在点x=0处可导．
    (2)若f(0)≠0，不妨设f(0)＞0，则在x=0的附近有｜f(x)｜=f(x)，所以若｜f(x)｜在点x=0处可导，则f(x)在点x=O处可导．
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考研数学一

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