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选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中
选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中
admin
2018-06-15
56
问题
选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x
2
+y
2
≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中
选项
答案
先确定a，b，使[*]，(x，y)∈D． [*]=1／(x
2
+y
2
)
4
[(2y+2x)(x
2
+y
2
)
2
－2(x
2
+y
2
)．2y(y
2
+2xy+ax
2
)] =2／(x
2
+y
2
)
2
[(x+y)(x
2
+y
2
)－2y(y
2
+2xy+ax
2
)]， [*]=－1／(x
2
+y
2
)
4
[(2x+2y)(x
2
+y
2
)
2
－2(x
2
+y
2
)2x(x
2
+2xy+by
2
)] =2／(x
2
+y
2
)
3
[－(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
)]， [*](x+y)(x
2
+y
2
)－2y(y
2
+2xy+ax
2
) =－(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
) [*]2(x
2
+xy
2
+yx
2
+y
2
)－2y
3
－4xy
2
－2ax
2
y=2x
3
+4x
2
y+2bxy
2
[*]－2xy
2
+2(1－a)x
2
y=4x
2
y+2bxy
2
[*]－2(b+1)xy
2
－2(a+1)x
2
y=0[*]a=－1，b=－1． 此时 [*] 因D不是单连通的，[*]在D成立不足以保证Pdx+Qdyヨ原函数． 进一步讨论是否可直接求出原函数．取特殊路径如图10．11及 u(x，y)=∫
0
x
P(x，1)dx+∫
1
y
Q(x，y)dy (第二个积分中x为常量)，将 [*] 因此u=[*]+C为Pdx+Qdy在区域D的原函数．
解析
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