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选择a,b,使Pdx+Qdy在区域D={(x,y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x,y)的全微分,其中
选择a,b,使Pdx+Qdy在区域D={(x,y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x,y)的全微分,其中
admin
2018-06-15
160
问题
选择a,b,使Pdx+Qdy在区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≠0}内为某函数u(x,y)的全微分,其中
选项
答案
先确定a,b,使[*],(x,y)∈D. [*]=1/(x
2
+y
2
)
4
[(2y+2x)(x
2
+y
2
)
2
-2(x
2
+y
2
).2y(y
2
+2xy+ax
2
)] =2/(x
2
+y
2
)
2
[(x+y)(x
2
+y
2
)-2y(y
2
+2xy+ax
2
)], [*]=-1/(x
2
+y
2
)
4
[(2x+2y)(x
2
+y
2
)
2
-2(x
2
+y
2
)2x(x
2
+2xy+by
2
)] =2/(x
2
+y
2
)
3
[-(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
)], [*](x+y)(x
2
+y
2
)-2y(y
2
+2xy+ax
2
) =-(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
) [*]2(x
2
+xy
2
+yx
2
+y
2
)-2y
3
-4xy
2
-2ax
2
y=2x
3
+4x
2
y+2bxy
2
[*]-2xy
2
+2(1-a)x
2
y=4x
2
y+2bxy
2
[*]-2(b+1)xy
2
-2(a+1)x
2
y=0[*]a=-1,b=-1. 此时 [*] 因D不是单连通的,[*]在D成立不足以保证Pdx+Qdyヨ原函数. 进一步讨论是否可直接求出原函数.取特殊路径如图10.11及 u(x,y)=∫
0
x
P(x,1)dx+∫
1
y
Q(x,y)dy (第二个积分中x为常量),将 [*] 因此u=[*]+C为Pdx+Qdy在区域D的原函数.
解析
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0
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