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  3. 选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中

选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中

admin2018-06-15  49
问题 选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中
选项
答案先确定a，b，使[*]，(x，y)∈D． [*]=1／(x2+y2)4[(2y+2x)(x2+y2)2－2(x2+y2)．2y(y2+2xy+ax2)] =2／(x2+y2)2[(x+y)(x2+y2)－2y(y2+2xy+ax2)]， [*]=－1／(x2+y2)4[(2x+2y)(x2+y2)2－2(x2+y2)2x(x2+2xy+by2)] =2／(x2+y2)3 [－(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2)]， [*](x+y)(x2+y2)－2y(y2+2xy+ax2) =－(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2) [*]2(x2+xy2+yx2+y2)－2y3－4xy2－2ax2y=2x3+4x2y+2bxy2 [*]－2xy2+2(1－a)x2y=4x2y+2bxy2 [*]－2(b+1)xy2－2(a+1)x2y=0[*]a=－1，b=－1． 此时 [*] 因D不是单连通的，[*]在D成立不足以保证Pdx+Qdyヨ原函数． 进一步讨论是否可直接求出原函数．取特殊路径如图10．11及 u(x，y)=∫0xP(x，1)dx+∫1yQ(x，y)dy (第二个积分中x为常量)，将 [*] 因此u=[*]+C为Pdx+Qdy在区域D的原函数．
解析
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考研数学一

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