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对于任意两个事件A1,A2,考虑随机变量 试证:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.
对于任意两个事件A1,A2,考虑随机变量 试证:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.
admin
2018-09-25
52
问题
对于任意两个事件A
1
,A
2
,考虑随机变量
试证:随机变量X
1
和X
2
独立的充分必要条件是事件A
1
和A
2
相互独立.
选项
答案
易见,随机变量X
1
和X
2
都服从0-1分布,且P{X
i
=1}=P(A
i
),P{X
i
=0}=[*]P{X
0
=1,X
2
=1}=P(A
0
A
2
). 必要性.设随机变量X
1
和X
2
独立,则P(A
1
A
2
)=P{X
1
=1,X
2
=1}=P{X
1
=1}P{X
2
=1}=P(A
1
)P(A
2
),从而事件A
1
和A
1
相互独立. 充分性.设事件A
1
和A
1
相互独立,则[*]也都独立,故 P{X
1
=0,X
2
=0}= [*] =P{X
1
=0}P{X
2
=0}, P{X
1
=0,X
2
=1}= [*] =P{X
1
=0}P{X
2
=1}, P{X
1
=1,X
2
=0}= [*] =P{X
1
=1}P{X
2
=0}, P{X
1
=1,X
2
=1}=P(A
1
A
2
)=P(A
1
)P(A
2
)=P{X
1
=1}P{X
2
=1}, 从而随机变量X
1
和X
2
相互独立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8ig4777K
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