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  3. 对于任意两个事件A1，A2，考虑随机变量 试证：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

对于任意两个事件A1，A2，考虑随机变量 试证：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

admin2018-09-25  37
问题 对于任意两个事件A1，A2，考虑随机变量

试证：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
选项
答案易见，随机变量X1和X2都服从0－1分布，且P{Xi=1}=P(Ai)，P{Xi=0}=[*]P{X0=1，X2=1}=P(A0A2)． 必要性．设随机变量X1和X2独立，则P(A1A2)=P{X1=1，X2=1}=P{X1=1}P{X2=1}=P(A1)P(A2)，从而事件A1和A1相互独立． 充分性．设事件A1和A1相互独立，则[*]也都独立，故 P{X1=0，X2=0}= [*] =P{X1=0}P{X2=0}， P{X1=0，X2=1}= [*] =P{X1=0}P{X2=1}， P{X1=1，X2=0}= [*] =P{X1=1}P{X2=0}， P{X1=1，X2=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=P{X1=1}P{X2=1}， 从而随机变量X1和X2相互独立．
解析
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考研数学一

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