求微分方程y’’+2y’+y=xex的通解．

admin2018-09-25 22

问题求微分方程y’’+2y’+y=xe^x的通解．

选项

答案特征方程r²+2r+1—0的两个根为r₁=r₂=－1．对应齐次方程的通解为Y=(C₁+C₂x)e^－x．设所求方程的特解为y^*=(ax+b)e^x，则(y^*)’=(ax+a+b)e^x，(y^*)’’=(ax+2a+b)e^x，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e^x=xe^x，解得 [*] 故所求通解为y=(C₁+C₂x)e^－x+[*](x－1)e^x，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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