2. 考研
  3. 假设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差D(Y)=__________．

假设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差D(Y)=__________．

admin2019-05-08  74
问题 假设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差D(Y)=__________．
选项
答案8／9
解析 解一  为求E(Y)，E(Y2)，先利用命题3．2．3．2(3)求出P(Y=1)P(Y=－1)．设X的密度为fX(x)，则
            
      P(Y=1)=P(X>0)=P(0    P(Y=－1)=P(X<0)=P(－1    因X为连续型随机变量，故P(X=0)=0，因而P(Y=0)=P(X=0)=0．于是得到Y和Y2的分布律分别为
              
故    E(Y)=(－1)×(1／3)+1×(2／3)=1／3，  E(Y2)=0+1×1=1，
             D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1－(1／3)2=8／9．
    解二  由题设有则
         
而P(X=0)=0，
         
故    E(Y)=1P(X=1)+0P(Y=0)+(－1)P(Y=－1)
          =1P(X>0)+0P(X=0)+(－1)P(X<0)=2／3－1／3=1／3，
    E(Y2)=12P(Y=1)+02P(Y=0)+(－1)2P(Y=－1)
          =12P(X>0)+02P(X=0)+(－1)2P(X<0)=2／3+1／3=1．
    故  D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1－(1／3)2=8／9．
    解三  用随机变量方差的定义：求之.
    D(Y)=[1－E(Y)]2P(Y－1)+[0－E(Y)]2P(Y=0)+[－1－E(Y)]2P(Y=－1)
        =[1－E(Y)]2P(X>0)+[E(Y)]2P(X=0)+[－1－E(Y)]2P(X<0)
        =(4／9)×(2／3)+(1／9)×0+(16／9)×(1／3)=8／9．
    注：命题3．2．3．2  (3)若X在区间[a，b]上服从均匀分布，即X～U[a，b]，则X落在子区间[c，d][a，b]上的概率为
                             P(c≤X≤d)=(d－c)／(b－a)．
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考研数学三

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