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假设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量则方差D(Y)=__________.
假设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量则方差D(Y)=__________.
admin
2019-05-08
31
问题
假设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量
则方差D(Y)=__________.
选项
答案
8/9
解析
解一 为求E(Y),E(Y
2
),先利用命题3.2.3.2(3)求出P(Y=1)P(Y=-1).设X的密度为f
X
(x),则
P(Y=1)=P(X>0)=P(0
P(Y=-1)=P(X<0)=P(-1
因X为连续型随机变量,故P(X=0)=0,因而P(Y=0)=P(X=0)=0.于是得到Y和Y
2
的分布律分别为
故 E(Y)=(-1)×(1/3)+1×(2/3)=1/3, E(Y
2
)=0+1×1=1,
D(Y)=E(Y
2
)-[E(Y)]
2
=1-(1/3)
2
=8/9.
解二 由题设有
则
而P(X=0)=0,
故 E(Y)=1P(X=1)+0P(Y=0)+(-1)P(Y=-1)
=1P(X>0)+0P(X=0)+(-1)P(X<0)=2/3-1/3=1/3,
E(Y
2
)=1
2
P(Y=1)+0
2
P(Y=0)+(-1)
2
P(Y=-1)
=1
2
P(X>0)+0
2
P(X=0)+(-1)
2
P(X<0)=2/3+1/3=1.
故 D(Y)=E(Y
2
)-[E(Y)]
2
=1-(1/3)
2
=8/9.
解三 用随机变量方差的定义:
求之.
D(Y)=[1-E(Y)]
2
P(Y-1)+[0-E(Y)]
2
P(Y=0)+[-1-E(Y)]
2
P(Y=-1)
=[1-E(Y)]
2
P(X>0)+[E(Y)]
2
P(X=0)+[-1-E(Y)]
2
P(X<0)
=(4/9)×(2/3)+(1/9)×0+(16/9)×(1/3)=8/9.
注:命题3.2.3.2 (3)若X在区间[a,b]上服从均匀分布,即X~U[a,b],则X落在子区间[c,d]
[a,b]上的概率为
P(c≤X≤d)=(d-c)/(b-a).
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考研数学三
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