设f(x)在x=xn的某邻域内有定义,在x=xn的某去心邻域内可导,则下列说法正确的是

admin2020-03-24  47

问题 设f(x)在x=xn的某邻域内有定义,在x=xn的某去心邻域内可导,则下列说法正确的是

选项 A、若f’(x)=A,则f’(x0)存在且等于A.
B、若f’(x0)存在且等于A,则f’(x)=A.
C、若f’(x)=∞,则f’(x0)不存在.
D、若f’(x0)不存在,则f’(x)=∞.

答案C

解析 解答本题的关键是将f’(x0)的定义式与f’(x)联系来考虑.
    对于(A):取f(x)=f’(x)=0,但f(x)在x=x0处不连续,从而f’(x0)不存在.故(A)不对,同时也说明(D)不对.
    对于(B):取f(x)=显然f’(0)存在,但f’(x)不存在.故(B)也不对.
    由排除法可知,应选C.
    或直接证明C正确.反证法:假设f’(x0)存在,则f(x)在x=x0处连续,那么在f’(x)=∞条件下,由洛必达法则有
    f’(x0)=f’(x)=∞,
矛盾,所以f’(x0)不存在.
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