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设f(x)在x=xn的某邻域内有定义,在x=xn的某去心邻域内可导,则下列说法正确的是
设f(x)在x=xn的某邻域内有定义,在x=xn的某去心邻域内可导,则下列说法正确的是
admin
2020-03-24
46
问题
设f(x)在x=x
n
的某邻域内有定义,在x=x
n
的某去心邻域内可导,则下列说法正确的是
选项
A、若
f’(x)=A,则f’(x
0
)存在且等于A.
B、若f’(x
0
)存在且等于A,则
f’(x)=A.
C、若
f’(x)=∞,则f’(x
0
)不存在.
D、若f’(x
0
)不存在,则
f’(x)=∞.
答案
C
解析
解答本题的关键是将f’(x
0
)的定义式与
f’(x)联系来考虑.
对于(A):取f(x)=
f’(x)=0,但f(x)在x=x
0
处不连续,从而f’(x
0
)不存在.故(A)不对,同时也说明(D)不对.
对于(B):取f(x)=
显然f’(0)存在,但
f’(x)不存在.故(B)也不对.
由排除法可知,应选C.
或直接证明C正确.反证法:假设f’(x
0
)存在,则f(x)在x=x
0
处连续,那么在
f’(x)=∞条件下,由洛必达法则有
f’(x
0
)=
f’(x)=∞,
矛盾,所以f’(x
0
)不存在.
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考研数学三
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