设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明： (1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)． (2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．

admin2019-08-23 22

问题设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：
(1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)．
(2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．

选项

答案(1)令φ(χ)＝[*]f(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝[*][f′(χ)－2χf(χ)]且[*]≠0，故f′(ξ)＝2ξf(ξ)． (2)令φ(χ)＝χf(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)，故ηf′(η)＋f(η)＝0．

解析

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考研数学二

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