设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: (1)存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=2ξf(ξ). (2)存在η∈(a,b),使得ηf′(η)+f(η)=0.

admin2019-08-23  23

问题 设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:
    (1)存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=2ξf(ξ).
    (2)存在η∈(a,b),使得ηf′(η)+f(η)=0.

选项

答案(1)令φ(χ)=[*]f(χ),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=[*][f′(χ)-2χf(χ)]且[*]≠0,故f′(ξ)=2ξf(ξ). (2)令φ(χ)=χf(χ),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在η∈(a,b),使得φ′(η)=0, 而φ′(χ)=χf′(χ)+f(χ),故ηf′(η)+f(η)=0.

解析
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