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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y2
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y2
admin
2016-04-11
46
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
(I)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
．
(II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
(I)记x=[*]，由于 f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=A321(x
1
，x
2
，x
3
)[*]] =2x
T
(αα
T
)x+x
T
(ββ
T
)x =x
T
(2αα
T
+ββ
T
)x
T
， 又2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα
T
+ββ
T
． (Ⅱ)记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
．由于α，β正交且为单位向量，即α
T
α=1，β
T
β=1，α
T
=β
T
α=0，所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α， Aβ=(2αα+ββ)β=β， 于是λ
1
=2，λ
2
=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2， 所以λ
3
=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+6y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/98w4777K
0
考研数学一
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