设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y2

admin2016-04-11 47

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

(I)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T．
(II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案(I)记x=[*]，由于 f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²=A321(x₁，x₂，x₃)[*]] =2x^T(αα^T)x+x^T(ββ^T)x =x^T(2αα^T+ββ^T)x^T，又2αα^T+ββ^T为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα^T+ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A=2αα^T+ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα=1，β^Tβ=1，α^T=β^Tα=0，所以 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α， Aβ=(2αα+ββ)β=β，于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2，所以λ₃=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²+6y₂²．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y2

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