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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y2

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y2

admin2016-04-11  48
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

    (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．
    (II)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案(I)记x=[*]，由于 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=A321(x1，x2，x3)[*]] =2xT(ααT)x+xT(ββT)x =xT(2ααT+ββT)xT， 又2ααT+ββT为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αT=βTα=0，所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α， Aβ=(2αα+ββ)β=β， 于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2， 所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+6y22．
解析
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考研数学一

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