计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．

admin2018-06-15 48

问题计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分
I=

(x+y+z)dV，其中Ω：x²+y²+z²≤2az，

≤z(a＞0)．

选项

答案Ω关于yz平面与zx平面均对称 [*] 用球坐标变换，球面x²+y²+z²=2az与锥面的球坐标方程分别为ρ=2acosφ，φ=π／4．Ω的球坐标表示Ω：0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4，0≤ρ≤2acosφ，于是 I=∫₀^2πdθ∫₀^π／4dφ∫₀^2acosφρcosφρ²sinφdρ=2π∫₀^π／4cosφsinφ(2a)⁴cos⁴φdφ =－8πa⁴∫₀^π／4cos⁵φdcosφ=－8／6πa⁴cos⁶φ|₀^π／4 =7／6πa⁴．

解析

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