计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 I=(x+y+z)dV,其中Ω:x2+y2+z2≤2az,≤z(a>0).

admin2018-06-15  20

问题 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分
I=(x+y+z)dV,其中Ω:x2+y2+z2≤2az,≤z(a>0).

选项

答案Ω关于yz平面与zx平面均对称 [*] 用球坐标变换,球面x2+y2+z2=2az与锥面的球坐标方程分别为ρ=2acosφ,φ=π/4.Ω的球坐标表示Ω:0≤θ≤2π,0≤φ≤π/4,0≤ρ≤2acosφ,于是 I=∫0dθ∫0π/4dφ∫02acosφρcosφρ2sinφdρ=2π∫0π/4cosφsinφ(2a)4cos4φdφ =-8πa40π/4cos5φdcosφ=-8/6πa4cos6φ|0π/4 =7/6πa4

解析
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