已知η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

admin2015-05-07  32

问题 已知η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是

选项 A、η12,η2-η3,η3-η4,η4-η1
B、η12,η2-η3,η3-η4,η41
C、η12,η23,η3-η4,η4-η1
D、η1,η2,η3,η4的等价向量组

答案A

解析 等价向量组不能保证向量个数相同,因而不能保证线性无关.例如向量组η1,η2,η3,η4,η12与向量组η1,η2,η3,η4等价,但前者线性相关,因而不能是基础解系.故(D)不正确.
    (B)、(C)均线性相关,因此不能是基础解系.故(B)与(C)也不正确.
    注意到:(η12)-(η2-η3)-(η3-η4)-(η41)=0,
    (η12)-(η23)+(η3-η4)+(η4-η1)=0,
    唯有(A),η12,η2-η3,η3-η4,η4-η1是Ax=0的解,又由
12,η2-η3,η3-η4,η4-η1)=(η1,η2,η3,η4),且=2≠0,知η12,η2-η3,η3-η4,η4-η1线性无关,且向量个数与η1,η2,η3,η4相同.所以(A)也是Ax=0的基础解系.故选(A)
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