已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若 β=α1+2α2－α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4，则Ax=β的通解为______．

admin2018-09-25 38

问题已知4阶方阵A=[α₁，α₂，α₃，α₄]，α₁，α₂，α₃，α₄均为4维列向量，其中α₁，α₂线性无关，若
β=α₁+2α₂－α₃=α₁+α₂+α₃+α₄=α₁+3α₂+α₃+2α₄，
则Ax=β的通解为______．

选项

答案[*] k₁，k₂均为任意常数

解析由
β=α₁+2α₂－α₃=α₁+α₁+α₃+α₄=α₁+3α₂+α₃+2α₄
可知

均为Ax=β的解，故ξ₁－ξ₂=

均为Ax=0的解．
由于α₁，α₂线性无关，可知r(A)≥2．又由于Ax=0有两个线性无关的解ξ₁－ξ₂，ξ₂－ξ₃，可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量，也即4－r(A)≥2，即r(A)≤2．
综上，r(A)=2，Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量，故ξ₁－ξ₂，ξ₂－ξ₃即为Ax=0
的基础解系．故Ax=β的通解为

k₁，k₂均为任意常数．

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考研数学一

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