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已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若 β=α1+2α2-α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4, 则Ax=β的通解为______.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α2线性无关,若 β=α1+2α2-α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4, 则Ax=β的通解为______.
admin
2018-09-25
29
问题
已知4阶方阵A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,其中α
1
,α
2
线性无关,若
β=α
1
+2α
2
-α
3
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
,
则Ax=β的通解为______.
选项
答案
[*] k
1
,k
2
均为任意常数
解析
由
β=α
1
+2α
2
-α
3
=α
1
+α
1
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
可知
均为Ax=β的解,故ξ
1
-ξ
2
=
均为Ax=0的解.
由于α
1
,α
2
线性无关,可知r(A)≥2.又由于Ax=0有两个线性无关的解ξ
1
-ξ
2
,ξ
2
-ξ
3
,可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量,也即4-r(A)≥2,即r(A)≤2.
综上,r(A)=2,Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量,故ξ
1
-ξ
2
,ξ
2
-ξ
3
即为Ax=0
的基础解系.故Ax=β的通解为
k
1
,k
2
均为任意常数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9lg4777K
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考研数学一
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