设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为 f(u，v)＝．求证：(Ⅰ)X＝U＋V服从正态分布； (Ⅱ)Y＝U2＋V2服从指数分布．

admin2018-06-12 47

问题设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为
f(u，v)＝

．
求证：(Ⅰ)X＝U＋V服从正态分布；
(Ⅱ)Y＝U²＋V²服从指数分布．

选项

答案(Ⅰ)由题设条件可知，(U，V)服从二维正态分布，因其相关系数ρ＝0，则U与V相互独立且都服从标准正态分布N(0．1)．根据独立随机变量和的卷积公式，X的概率密度f_X(χ)为 [*] 计算得知X～N(0，2)． (Ⅱ)当y≤0时，Y的分布函数F_Y(y)＝0．当y＞0时， F_Y(y)＝P{Y≤y}＝P{U²＋V²≤y} [*] 因此Y的分布函数为 [*] 即Y服从参数为1／2的指数分布．

解析

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考研数学一

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