2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足∫0tf(x)dx+∫f(0)f(t)g(y)dy=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________．

设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足∫0tf(x)dx+∫f(0)f(t)g(y)dy=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________．

admin2019-07-28  46
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足∫0tf(x)dx+∫f(0)f(t)g(y)dy=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________．
选项
答案f(x)=x2(x≥0)．
解析 由定积分的几何意义知：
∫0tf(x)dx=由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t＞所围成的曲边梯形的面积，
    ∫f(0)f(t)g(y)dy=由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积．
    x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别
为t与f(t))，见右图．

于是  ∫0tf(x)dx+∫f(0)f(t)g(y)dy=tf(t)．
因此   tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)，
即     f(x)=x2(x≥0)．
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考研数学二

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