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设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当x∈(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足∫0tf(x)dx+∫f(0)f(t)g(y)dy=t3(t≥0),则f(x)的表达式是_________.
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当x∈(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足∫0tf(x)dx+∫f(0)f(t)g(y)dy=t3(t≥0),则f(x)的表达式是_________.
admin
2019-07-28
61
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当x∈(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足∫
0
t
f(x)dx+∫
f(0)
f(t)
g(y)dy=t
3
(t≥0),则f(x)的表达式是_________.
选项
答案
f(x)=x
2
(x≥0).
解析
由定积分的几何意义知:
∫
0
t
f(x)dx=由曲线y=f(x),x、y轴及直线x=t>所围成的曲边梯形的面积,
∫
f(0)
f(t)
g(y)dy=由曲线x=g(y),y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积.
x=g(y)与y=f(x)互为反函数,代表同一条曲线,它们面积之和是长方形面积(边长分别
为t与f(t)),见右图.
于是 ∫
0
t
f(x)dx+∫
f(0)
f(t)
g(y)dy=tf(t).
因此 tf(t)=t
3
,f(t)=t
2
(t≥0),
即 f(x)=x
2
(x≥0).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AXN4777K
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