2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f’’(x)≥0．证明：

设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f’’(x)≥0．证明：

admin2018-05-22  69
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f’’(x)≥0．证明：
选项
答案由泰勒公式得[*]，其中ξ介于x与[*]之间，因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥[*]，两边积分得∫abf(x)dx≥(b-a)[*] 令φ(x)=[*][f(x)+f(a)]-∫axf(t)dt，且φ(a)=0， φ’(x)=[*][f(x)+f(a)]+[*]f’(x)-f(x)=[*][f(x)-f(a)] =[*](x-a)[f’(x)-f’(η)]，其中a≤η≤x， 因为f’’(x)≥0，所以f’(x)单调不减，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)， 由[*]得φ(b)≥0，于是∫abf(x)dx≤[*][f(a)+f(b)]， 故(b-a)[*]≤∫abf(x)dx≤[*][f(a)+f(b)]．
解析
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考研数学二

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