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设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)g(x,y)dσ.
设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)g(x,y)dσ.
admin
2019-11-25
43
问题
设f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(x,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得
f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)
g(x,y)dσ.
选项
答案
因为f(x,y)在D上连续,所以f(x,y)在D上取到最大值M和最小值m,故 m≤f(x,y)≤M,又由g(x,y)≥0得mg(x,Y)≤f(x,y)g(x,Y)≤Mg(x,y), 积分得 m[*]g(x,y)dσ≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ≤M[*]g(x,y)dσ. (1)当[*]g(x,y)dσ=0时,[*]f(x,y)g(x,y)dσ=0,则对任意的(ξ,η)∈D,有 [*]f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)[*]g(x,y)dσ, (2)当[*]g(x,y)dσ>0时, 由m[*]g(x,y)dσ≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ≤M[*]g(x,y)dσ,得 m≤[*]f(x,y)g(x,y)dσ/[*]g(x,y)dσ≤M, 由介值定理,存在(ξ,η)∈D,使得 f(ξ,η)=[*], 即[*]f(x,y)g(x,y)dσ=f(ξ,η)[*]g(x,y)dσ.
解析
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考研数学三
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