2. 考研
  3. 设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得f(x，y)g(x，y)dσ＝f(ξ,η)g(x，y)dσ．

设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得f(x，y)g(x，y)dσ＝f(ξ,η)g(x，y)dσ．

admin2019-11-25  50
问题 设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得f(x，y)g(x，y)dσ＝f(ξ,η)g(x，y)dσ．
选项
答案因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故 m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，Y)≤f(x，y)g(x，Y)≤Mg(x，y)， 积分得 m[*]g(x，y)dσ≤[*]f(x，y)g(x，y)dσ≤M[*]g(x，y)dσ． (1)当[*]g(x，y)dσ＝0时，[*]f(x，y)g(x，y)dσ＝0，则对任意的(ξ，η)∈D，有 [*]f(x，y)g(x，y)dσ＝f(ξ，η)[*]g(x，y)dσ， (2)当[*]g(x，y)dσ＞0时， 由m[*]g(x，y)dσ≤[*]f(x，y)g(x，y)dσ≤M[*]g(x，y)dσ，得 m≤[*]f(x，y)g(x，y)dσ／[*]g(x，y)dσ≤M， 由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得 f(ξ，η)＝[*]， 即[*]f(x，y)g(x，y)dσ＝f(ξ，η)[*]g(x，y)dσ．
解析
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考研数学三

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