已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的负惯性指数q=2，r(A)=3，且A2-2A-3E=0，A为实对称矩阵，则二次型在正交变换x=Qy下的标准形为( )

admin2022-05-20 30

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的负惯性指数q=2，r(A)=3，且A²-2A-3E=0，A为实对称矩阵，则二次型在正交变换x=Qy下的标准形为( )

选项 A、y₁²-3y₂²-3y₃²
B、3y₁²-y₂²-y₃²
C、y₁²-y₂²-3y₃²
D、y₁²-3y₂²-y₃²

答案B

解析设Aα=λα，其中λ为A的任一特征值，α≠0为A的特征向量，由已知，有
(A²-2A-3E)α=0．
故(λ²-2λ-3)α=0．
由α≠0，知λ²-2λ-3=0，解得λ=3或λ=-1．又由q=2，r(A)=3，知正惯性指数P=1，故A的特征值为3，-1，-1，从而二次型在正交变换X=Qy下的标准形为
3y₁²-y₂²-y₃²．B正确．

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