2. 考研
  3. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y＝y(x)与直线y＝x相切于原点．记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．

设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y＝y(x)与直线y＝x相切于原点．记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．

admin2014-01-26  42
问题 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y＝y(x)与直线y＝x相切于原点．记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．
选项
答案[详解1] 由题知y(0)＝0，y’(0)＝1，且由导数的几何意义得[*]． 等式两边对x求导 [*]。 于是[*]。 此方程是不显含x的二阶微分方程，令p＝y’，则 [*] 解之得arctanp＝y＋C1，即p＝tan(y＋C1)． 由y(0)＝0，y’(0)＝1，有[*]。 冉解微分方程[*]。 由y(0)＝0得[*]。 所以，表达式为[*]。 [详解2] 由于 y’＝tana，即α＝arctany’，所以 [*] 由已知条件得[*]，即y”＝y’(1＋y’ 2)。 令y’＝p，则p’＝p(1＋p2)．分离变量得[*]，两边积分得 [*] 由题意y’(0)＝1，即当x＝0时，p＝1，于是得[*]．故 [*]，两边积分得[*]。 由y(0)＝0得[*]．所以y(x)的表达式为[*]。
解析 利用导数的几何意义得到微分方程，解方程求出y(x)．
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考研数学二

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