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设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线l在点(x,y)处切线的倾角,若,求y(x)的表达式.
设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线l在点(x,y)处切线的倾角,若,求y(x)的表达式.
admin
2014-01-26
67
问题
设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线l在点(x,y)处切线的倾角,若
,求y(x)的表达式.
选项
答案
[详解1] 由题知y(0)=0,y’(0)=1,且由导数的几何意义得[*]. 等式两边对x求导 [*]。 于是[*]。 此方程是不显含x的二阶微分方程,令p=y’,则 [*] 解之得arctanp=y+C
1
,即p=tan(y+C
1
). 由y(0)=0,y’(0)=1,有[*]。 冉解微分方程[*]。 由y(0)=0得[*]。 所以,表达式为[*]。 [详解2] 由于 y’=tana,即α=arctany’,所以 [*] 由已知条件得[*],即y”=y’(1+y’
2
)。 令y’=p,则p’=p(1+p
2
).分离变量得[*],两边积分得 [*] 由题意y’(0)=1,即当x=0时,p=1,于是得[*].故 [*],两边积分得[*]。 由y(0)=0得[*].所以y(x)的表达式为[*]。
解析
利用导数的几何意义得到微分方程,解方程求出y(x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Bm34777K
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考研数学二
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