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证明α1,α2,…,αs(其中(α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1<i≤s)能由它前面的那些向量α1,α2,…,αs—1线性表出.
证明α1,α2,…,αs(其中(α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1<i≤s)能由它前面的那些向量α1,α2,…,αs—1线性表出.
admin
2018-06-14
25
问题
证明α
1
,α
2
,…,α
s
(其中(α
1
≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个α
i
(1<i≤s)能由它前面的那些向量α
1
,α
2
,…,α
s—1
线性表出.
选项
答案
必要性.因为α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,故有不全为0的k
1
,k
2
,…,k
s
,使 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0. 设k
s
,k
s—1
,…,k
2
,k
1
中第一个不为0的是k
i
(即k
i
≠0,而k
i+1
=…=k
s—1
=k
s
=0),且必有i>1(若i=1即k
1
≠0,k
2
=…=k
s
=0,那么k
1
α
1
=0.于是α
1
=0与α
1
≠0矛盾.),从而 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i
α
i
=0,k
i
≠0.那么α
i
=一[*](k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i—1
α
i—1
). 充分性.设有α
i
可用α
1
,α
2
,…,α
i—1
线性表示,则α
1
,α
2
,…,α
i—1
,α
i
线性相关,从而α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/C1W4777K
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考研数学三
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