设f(x)在(一∞，+∞)上是导数连续的有界函数，|f(x)一f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

admin2019-08-12 108

问题设f(x)在(一∞，+∞)上是导数连续的有界函数，|f(x)一f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

选项

答案因为f(x)有界，所以[*] 于是e^-xf(x)|_x^+∞=∫_x^+∞[e^-xf(x)]’dx，即一e^-xf(x)=∫_x^+∞一e^-x[f(x)一f’(x)]dx，两边取绝对值得e^-x|f(x)|≤∫_x^+∞e^-x|f(x)一f’(x)|dx≤∫_x^+∞e^-xdx=e^-x，故|f(x)|≤1．

解析

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