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解下列微分方程: (Ⅰ)y〞-7y′+12y=χ满足初始条件的特解; (Ⅱ)y〞+a2y=8cosbχ的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)y″′+y〞+y′+y=0的通解.
解下列微分方程: (Ⅰ)y〞-7y′+12y=χ满足初始条件的特解; (Ⅱ)y〞+a2y=8cosbχ的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)y″′+y〞+y′+y=0的通解.
admin
2021-11-09
85
问题
解下列微分方程:
(Ⅰ)y〞-7y′+12y=χ满足初始条件
的特解;
(Ⅱ)y〞+a
2
y=8cosbχ的通解,其中a>0,b>0为常数;
(Ⅲ)y″′+y〞+y′+y=0的通解.
选项
答案
(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ
2
-7λ+12=0,它有两个互异的实根:λ
1
=3,λ
2
=4,所以,其通解为[*] 由于0不是特征根,所以非齐次方程的特解应具有形式y
*
(χ)=Aχ+B.代入方程,可得A=[*],B=[*],所以,原方程的通解为y(χ)=[*] 代入初始条件,则得[*] 因此所求的特解为y(χ)=[*] (Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai,所以其通解为[*](χ)=C
1
cosaχ+C
2
sinaχ.求原非齐次方程的特解,需分两种情况讨论: ①当a≠b时,特解的形式应为Acosbχ+Bsinbχ,将其代入原方程,则得 A=[*],B=0. 所以,通解为y(χ)=[*]cosbχ+C
1
cosaχ+C
2
sinaχ,其中C
1
,C
2
为任意常数. ②当a=b时,特解的形式应为Aχcosaχ+Bχsinaχ,代入原方程,则得 A=0.B=[*]. 原方程的通解为y(χ)=[*]χsinaχ+C
1
cosaχ+C
2
sinaχ,其中C
1
,C
2
为任意常数. (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程,其相应的特征方程为λ
3
+λ
2
+λ+1=0,分解得(λ+1)(λ
2
+1)=0,其特征根为λ
1
=-1,λ
2,3
=±i,所以方程的通解为 y(χ)=C
1
e
-χ
+C
2
cosχ+C
3
sinχ,其中C
1
,C
2
,C
3
为任意常数.
解析
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