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已知齐次线性方程组 其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
已知齐次线性方程组 其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
admin
2018-07-26
101
问题
已知齐次线性方程组
其中
a
i
≠0．试讨论a
1
，a
2
，…，a
n
和b满足何种关系时，
(1)方程组仅有零解；
(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
选项
答案
方程组的系数行列式 [*] 为一“行和”相等行列式，将各列加至第1列，然后提取第1列的公因子(b+[*]a
i
)，再将第1列的(－a
i
)倍加至第i列(i=2，…，n)，就将行列式化成了下三角行列式： [*] (1)当|A|≠0，即b≠0且b+[*]a
i
≠0时，方程组仅有零解； (2)当b=0时，原方程组的同解方程组为 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…?+a
n
x
n
=0， 由[*]a
i
≠0知a
1
，a
2
，…，a
n
不全为零，不妨设a
1
≠0，则得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x
1
=－[*]x
n
(x
2
，x
3
，…，x
n
任意)． 由此得方程组的一个基础解系为 α
1
=(－a
2
／a
1
，1，0，…，0)
T
，α
2
=(－a
3
／a
1
，0，1，…，0)
T
，…，α
n－1
=(－a
n
／a
1
，0，0，…，1)
T
当b=－[*]a
i
时，有b≠0，对原方程组的系数矩阵A作初等行变换：将第1行的(－1)倍分别加至第2，3，…，n行，得 [*] 用1／b乘第i行(i=2，3，…，n)，得 [*] 将第i行的(－a
i
)倍加至第1行(i=2，3，…，n)，并利用b+[*]a
i
=0，得 [*] 因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x
2
=x
1
，x
3
=x
1
，…，x
n
=x
1
，(x
1
任意) 令x
1
=1，则得原方程组的一个基础解系为 α=(1，1，…，1)
T
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CTW4777K
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考研数学三
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