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已知齐次线性方程组 其中ai≠0.试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时, (1)方程组仅有零解; (2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
已知齐次线性方程组 其中ai≠0.试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时, (1)方程组仅有零解; (2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
admin
2018-07-26
62
问题
已知齐次线性方程组
其中
a
i
≠0.试讨论a
1
,a
2
,…,a
n
和b满足何种关系时,
(1)方程组仅有零解;
(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
选项
答案
方程组的系数行列式 [*] 为一“行和”相等行列式,将各列加至第1列,然后提取第1列的公因子(b+[*]a
i
),再将第1列的(-a
i
)倍加至第i列(i=2,…,n),就将行列式化成了下三角行列式: [*] (1)当|A|≠0,即b≠0且b+[*]a
i
≠0时,方程组仅有零解; (2)当b=0时,原方程组的同解方程组为 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…?+a
n
x
n
=0, 由[*]a
i
≠0知a
1
,a
2
,…,a
n
不全为零,不妨设a
1
≠0,则得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x
1
=-[*]x
n
(x
2
,x
3
,…,x
n
任意). 由此得方程组的一个基础解系为 α
1
=(-a
2
/a
1
,1,0,…,0)
T
,α
2
=(-a
3
/a
1
,0,1,…,0)
T
,…,α
n-1
=(-a
n
/a
1
,0,0,…,1)
T
当b=-[*]a
i
时,有b≠0,对原方程组的系数矩阵A作初等行变换:将第1行的(-1)倍分别加至第2,3,…,n行,得 [*] 用1/b乘第i行(i=2,3,…,n),得 [*] 将第i行的(-a
i
)倍加至第1行(i=2,3,…,n),并利用b+[*]a
i
=0,得 [*] 因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x
2
=x
1
,x
3
=x
1
,…,x
n
=x
1
,(x
1
任意) 令x
1
=1,则得原方程组的一个基础解系为 α=(1,1,…,1)
T
.
解析
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考研数学三
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