设齐次线性方程组的系数矩阵为A=,设Mi(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n—1阶子式。证明: 如果A的秩为n—1,则方程组的所有解向量是(M1,—M2,…,(—1)n—1Mn)的倍数。

admin2019-03-23  32

问题 设齐次线性方程组的系数矩阵为A=,设Mi(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n—1阶子式。证明:
如果A的秩为n—1,则方程组的所有解向量是(M1,—M2,…,(—1)n—1Mn)的倍数。

选项

答案因为R(A)=n—1,所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n—(n—1)=1,同时因为R(A)=n—1,说明A中至少有一个(n—1)阶子式≠0,即M1,M2,…,Mn不全为0,于是(M1,—M2,…,(—1)n—1Mn)是方程组的一个非零解,它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M1,—M2,…,(—1)n—1Mn)的倍数。

解析
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