设齐次线性方程组的系数矩阵为A=，设Mi(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n—1阶子式。证明：如果A的秩为n—1，则方程组的所有解向量是(M1，—M2，…，(—1)n—1Mn)的倍数。

admin2019-03-23 56

问题设齐次线性方程组

的系数矩阵为A=

，设M_i(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n—1阶子式。证明：
如果A的秩为n—1，则方程组的所有解向量是(M₁，—M₂，…，(—1)^n—1M_n)的倍数。

选项

答案因为R(A)=n—1，所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n—(n—1)=1，同时因为R(A)=n—1，说明A中至少有一个(n—1)阶子式≠0，即M₁，M₂，…，M_n不全为0，于是(M₁，—M₂，…，(—1)^n—1M_n)是方程组的一个非零解，它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M₁，—M₂，…，(—1)^n—1M_n)的倍数。

解析

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考研数学二

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设齐次线性方程组的系数矩阵为A=，设Mi(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n—1阶子式。证明：如果A的秩为n—1，则方程组的所有解向量是(M1，—M2，…，(—1)n—1Mn)的倍数。

考研数学二

设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，又α1=(1，2，2)T和α2=(0，2，1)T分别是(A－E)X=0的(A+E)X=0的解．(1)求A的特征值与特征向量．(2)求矩阵A．

设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，－1，a+2，1)T，η2=(－1，2，4，a+8)T．(1)求(Ⅰ)的一个基础解系；(2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解

设非齐次方程组AX=β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1=(1，2，3，4)T，ξ2+ξ3=(0，1，2，3)T，r(A)=3．求通解．

讨论p，t为何值时，方程组无解?有解?有解时写出全部解．

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设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为(Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)T，(－1，2，2，1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

证明3阶矩阵

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