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以y=ex(cos 2x+sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。
以y=ex(cos 2x+sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。
admin
2019-01-25
41
问题
以y=e
x
(cos 2x+sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。
选项
答案
y"-2y'+5y=0
解析
本题考查常系数齐次线性微分方程的通解形式。当对应特征方程有两个不同的特征根r
1
,r
2
,通解的形式为y=C
1
e
r
1
x
+C
2
e
r
2
x
;当对应特征方程有两个相同的特征根r
1
,通解的形式为y=(C
1
+C
2
x)e
r
1
x
;当对应特征方程有两个共轭复根r
1,2
=α±β(β>0),通解的形式为y=e
αx
(C
1
cosβx+C
2
sinβx)。
已知y=e
x
(cos 2x+sin 2x)是二阶常系数齐次微分方程的通解,因此可知齐次微分方程对应的特征根为r=1±2i,可得特征方程为
[x-(1+2i)][x-(1-2i)]=(x-1-2i)(x-1+2i)
=(1-x)
2
+4=x
2
-2x+5=0,
因此对应二阶常系数齐次线性微分方程为y"-2y'+5y=0。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ChP4777K
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考研数学三
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