以y=ex(cos 2x+sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。

admin2019-01-25  46

问题 以y=ex(cos 2x+sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。

选项

答案y"-2y'+5y=0

解析 本题考查常系数齐次线性微分方程的通解形式。当对应特征方程有两个不同的特征根r1,r2,通解的形式为y=C1er1x+C2er2x;当对应特征方程有两个相同的特征根r1,通解的形式为y=(C1+C2x)er1x;当对应特征方程有两个共轭复根r1,2=α±β(β>0),通解的形式为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
已知y=ex(cos 2x+sin 2x)是二阶常系数齐次微分方程的通解,因此可知齐次微分方程对应的特征根为r=1±2i,可得特征方程为
    [x-(1+2i)][x-(1-2i)]=(x-1-2i)(x-1+2i)
    =(1-x)2+4=x2-2x+5=0,
因此对应二阶常系数齐次线性微分方程为y"-2y'+5y=0。
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