2. 考研
  3. 以y＝ex(cos 2x＋sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。

以y＝ex(cos 2x＋sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。

admin2019-01-25  60
问题 以y＝ex(cos 2x＋sin 2x)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为___________。
选项
答案y＂－2y＇＋5y＝0
解析 本题考查常系数齐次线性微分方程的通解形式。当对应特征方程有两个不同的特征根r1，r2，通解的形式为y＝C1er1x＋C2er2x；当对应特征方程有两个相同的特征根r1，通解的形式为y＝(C1＋C2x)er1x；当对应特征方程有两个共轭复根r1，2＝α±β(β＞0)，通解的形式为y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)。
已知y＝ex(cos 2x＋sin 2x)是二阶常系数齐次微分方程的通解，因此可知齐次微分方程对应的特征根为r＝1±2i，可得特征方程为
    [x－(1＋2i)][x－(1－2i)]＝(x－1－2i)(x－1＋2i)
    ＝(1－x)2＋4＝x2－2x＋5＝0，
因此对应二阶常系数齐次线性微分方程为y＂－2y＇＋5y＝0。
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考研数学三

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