[2001年] 已知三阶矩阵A与三维向量X,使得向量组X,AX,A2X线性无关,且满足A3X=3AX一2A2X.(1)记P=[X,AX,A2X],求三阶矩阵B,使A=PBP-1;(2)计算行列式∣A+E∣.

admin2019-05-10  36

问题 [2001年]  已知三阶矩阵A与三维向量X,使得向量组X,AX,A2X线性无关,且满足A3X=3AX一2A2X.(1)记P=[X,AX,A2X],求三阶矩阵B,使A=PBP-1;(2)计算行列式∣A+E∣.

选项

答案本题是求A的相似矩阵:B=P-1AP,但P=[X,AX,A2X]中的向量不是A的特征向量,故它不是通常的相似对角化问题.可采用相似对角化思想,即将A=PBP-1改写为AP=PB,由此求出B.至于行列式∣A+E∣可利用相似矩阵的行列式相等求得. (1)解一 设B=[*],由AP=PB得到 [AX,A2X,A3X]=[X,AX,A2X][*] 即 [*] 由于X,AX,A2X线性无关,由式①可得a1=0,b1=l,c1=0;由式②可得a2=0,b2=0,c2=l; 由式③可得a3=0,b3=3,c3=一2,于是B=[*] 解二 B=P-1AP=[X,AX,A2X]-1A[X,AX,A2X]=[X,AX,A2X]-1[AX,A2X,A3X] =[X,AX,A2X]-1[AX,A2X,3AX一2A2X] =[X,AX,A2X]-1[X,AX,A2X][*] (2)由(1)知,A与B相似,则由命题2.5.3.4知A+E与B+E也相似,且 ∣A+E∣=∣B+E∣=[*]=一4.

解析
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