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[2001年] 已知三阶矩阵A与三维向量X,使得向量组X,AX,A2X线性无关,且满足A3X=3AX一2A2X.(1)记P=[X,AX,A2X],求三阶矩阵B,使A=PBP-1;(2)计算行列式∣A+E∣.
[2001年] 已知三阶矩阵A与三维向量X,使得向量组X,AX,A2X线性无关,且满足A3X=3AX一2A2X.(1)记P=[X,AX,A2X],求三阶矩阵B,使A=PBP-1;(2)计算行列式∣A+E∣.
admin
2019-05-10
45
问题
[2001年] 已知三阶矩阵A与三维向量X,使得向量组X,AX,A
2
X线性无关,且满足A
3
X=3AX一2A
2
X.(1)记P=[X,AX,A
2
X],求三阶矩阵B,使A=PBP
-1
;(2)计算行列式∣A+E∣.
选项
答案
本题是求A的相似矩阵:B=P
-1
AP,但P=[X,AX,A
2
X]中的向量不是A的特征向量,故它不是通常的相似对角化问题.可采用相似对角化思想,即将A=PBP
-1
改写为AP=PB,由此求出B.至于行列式∣A+E∣可利用相似矩阵的行列式相等求得. (1)解一 设B=[*],由AP=PB得到 [AX,A
2
X,A
3
X]=[X,AX,A
2
X][*] 即 [*] 由于X,AX,A
2
X线性无关,由式①可得a
1
=0,b
1
=l,c
1
=0;由式②可得a
2
=0,b
2
=0,c
2
=l; 由式③可得a
3
=0,b
3
=3,c
3
=一2,于是B=[*] 解二 B=P
-1
AP=[X,AX,A
2
X]
-1
A[X,AX,A
2
X]=[X,AX,A
2
X]
-1
[AX,A
2
X,A
3
X] =[X,AX,A
2
X]
-1
[AX,A
2
X,3AX一2A
2
X] =[X,AX,A
2
X]
-1
[X,AX,A
2
X][*] (2)由(1)知,A与B相似,则由命题2.5.3.4知A+E与B+E也相似,且 ∣A+E∣=∣B+E∣=[*]=一4.
解析
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考研数学二
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