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将三重积分的累次积分表为定积分.
将三重积分的累次积分表为定积分.
admin
2019-07-24
22
问题
将三重积分的累次积分
表为定积分.
选项
答案
【分析与求解一】将J表成[*],确定积分区域Ω,然后选择适当的积分顺序,将它化为定积分.将J看成是三重积分的先一后二的累次积分,于是[*]其中[*]因此,Ω是由半球面[*]与半平面z=l所围成.两面的交线是[*]即[*]Ω在xy平面上的投影区域是x
2
+y
2
≤1,z=0,即D
xy
.现改为先二后一(z)的积分顺序,Ω的不等式表示为[*],截面区域D(z):x
2
+y
2
≤2一z
2
,面积S(z)=π(2一z
2
).因此[*][*][*] 【分析与求解二】[*]将J看成是三重积分的先二后一的累次积分,确定二重积分的积分区域,然后逐次对二重积分交换积分次序,化为定积分.[*]其中[*]这里x视为常量,在yz平面上如图所示.在D
xy
上改为先y后z的积分顺序[*]于是[*]其中[*]现在D
xY
上改为先X后z的积分次序:[*]于是[*]其中[*] [*] 【分析与求解三】将J表成三重积分[*]/之后,问题变成如何计算这个三重积分(化为定积分),Ω如前所述.除r先二后一的积分顺序外,因Ω为旋转体,也可选择柱坐标变换(x=rcosθ,y=rsinθ,z=z),并选择先r,θ后z的积分顺序化为定积分.Ω的柱坐标表示:[*]于是[*]
解析
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考研数学一
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