将三重积分的累次积分表为定积分．

admin2019-07-24 23

问题将三重积分的累次积分

表为定积分．

选项

答案【分析与求解一】将J表成[*]，确定积分区域Ω，然后选择适当的积分顺序，将它化为定积分．将J看成是三重积分的先一后二的累次积分，于是[*]其中[*]因此，Ω是由半球面[*]与半平面z=l所围成．两面的交线是[*]即[*]Ω在xy平面上的投影区域是x²+y²≤1，z=0，即D_xy.现改为先二后一(z)的积分顺序，Ω的不等式表示为[*]，截面区域D(z)：x²+y²≤2一z²，面积S(z)=π(2一z²)．因此[*][*][*] 【分析与求解二】[*]将J看成是三重积分的先二后一的累次积分，确定二重积分的积分区域，然后逐次对二重积分交换积分次序，化为定积分．[*]其中[*]这里x视为常量，在yz平面上如图所示．在D_xy上改为先y后z的积分顺序[*]于是[*]其中[*]现在D_xY上改为先X后z的积分次序：[*]于是[*]其中[*] [*] 【分析与求解三】将J表成三重积分[*]／之后，问题变成如何计算这个三重积分(化为定积分)，Ω如前所述．除r先二后一的积分顺序外，因Ω为旋转体，也可选择柱坐标变换(x=rcosθ，y=rsinθ，z=z)，并选择先r，θ后z的积分顺序化为定积分．Ω的柱坐标表示：[*]于是[*]

解析

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考研数学一

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