求下列微分方程的通解： (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy； (X)y’’+5y

admin2019-03-12 57

问题求下列微分方程的通解：
(I)(x一2)dy=[y+2(x一2)³]dx；
(Ⅱ)(1+y²)dx=(aretany一x)dy；
(Ⅲ)y’+2y=sinx；
(Ⅳ)

(V)

(Ⅵ)

(Ⅶ)

(Ⅷ)

(Ⅸ)xdy—ydx=y²e^ydy；
(X)y’’+5y’+6y=e^x；
(Ⅺ)y’’+9y=6eos3x．

选项

答案(I)原方程可改写为[*]这是一阶线性微分方程，用积分因子[*]同乘方程两端可得[*]，两边求积分即得通解[*]即 y=C(x一2)+(x一2)³，其中C是任意常数． (Ⅱ)原方程可改写成[*]这是以x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，用积分因子[*] 同乘方程两端可得[*] 两边求积分即得通解[*] 即 x=Ce^-arctany+arctany一1，其中C是任意常数． (Ⅲ)用积分因子e^2x同乘方程两端，可得[*] 因为 ∫e^2xsinxdx=一∫e^2xd(cosx)=-e^2xcosx+2∫e^2xcosxdx=-e^2xcosx+2∫e^2xd(sinx) =一e^2xcosx+2(e^2xsinx一2∫e^2xsinxdx)=e^2x(2sinx一cosx)一4∫e^2xsinxdx， [*] 代入即得通解[*]其中C是任意常数． (Ⅳ)原方程可变形为[*]于是，由一阶线性微分方程公式法，得通解 [*] 故原方程的通解为[*] (V)题设方程为齐次微分方程．当x＞0时[*]可把方程改写成 [*] (Ⅵ)题设方程为齐次微分方程，方程可改写成 [*] (Ⅶ)将y看成自变量，x看成是y的函数x=x(y)，则原方程是齐次微分方程．令[*]代入原方程，得 [*] 这是一个变量可分离型方程，其通解为y(e^u+u)=C．所以原微分方程的通解为[*] (Ⅷ)因为y’cosy=(siny)’，令u=siny，则原微分方程化为 u’+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 [*] 所以原微分方程的通解为siny=Ce^-x+x一1． (Ⅸ)当y≠0时，将原方程变为如下形式： [*] 所以原方程是一个全微分方程，其通解为 [*] (X)因特征方程是λ²+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0→特征根为λ₁=一2，λ₂=一3．而自由项f(z)=e^x，故可设非齐次方程有特解y^*=Ae^x，代入原方程可确定[*]故方程的通解为 [*] (XI)对应的特征方程为λ²+9=(λ一3i)(λ+3i)=0→特征根为λ₁=3i，λ₂=一3i，由方程的非齐次项6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式y^*=x(Acos3x+Bsin3x)．计算可得 [*] 从而A=0，B=1．综合得通解y=(C₂+x)sin3x+C₂cos3x．

解析

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考研数学三

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求下列微分方程的通解： (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy； (X)y’’+5y

考研数学三

设随机变量X～B(1，)，Y～E(1)，且X与Y相互独立，记Z=(2X一1)Y，(Y，Z)的分布函数为F(y，z)．试求：(Ⅰ)Z的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)F(2，一1)的值．

设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，已知条件概率密度fX｜Y(x｜y)=．试求：(I)常数A和B；(Ⅱ)fX(x)和fY(y)；(Ⅲ)f(x，y)．

已知随机变量X的分布函数FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX．计算P｛Y≥K｝．

已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Aχ＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T．(Ⅰ)令B＝(α1，α2，α3)，求Bχ＝b的通解；(Ⅱ)令C＝(α1，α2，α3，α4，b

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

证明推广的积分中值定理：设F（x）与G（x）都是区间[a，b]上的连续函数，且G（x）≥0，G（x）0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得∫abF（x）G（x）dx=F（ξ）∫abG（x）dx．

设讨论当a，b取何值时，方程组AX=b无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解．

设f（x）在[a，b]上有连续的导数，证明|∫abdx|f’（x）|dx。

设函数f（x）在x=x0处具有二阶导数，且f’（x0）=0，f"（x0）≠0，证明当f"（x0）＞0，f（x）在x=x0处取得极小值。

设u＝f(z)，其中z是由z＝y＋xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：．

社区护理的中心是（）。

常用于免疫学检测中第二抗体，是体内大多数的抗菌抗体、抗病毒抗体的是

甲状腺危象原因为Ⅰ型糖尿病时病人

基桩竖向静载试验中，加载分级不宜少于8级。()

经世界银行批准，在世界银行贷款项目咨询服务采购方式中，选择个人咨询者可以采用()方法。

在其他条件不变的情况下，债券到期期限越长，市场利率变动所导致的价格波动幅度(　　)。

()是国内最早开办的个人贷款产品。

相对于固定预算法而言，弹性预算法的优点有()。

设f(x)在[0，1]有连续导数，且f(0)=0，令，则必有

求下列微分方程的通解： (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy； (X)y’’+5y

考研数学三

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