2. 考研
  3. 求下列微分方程的通解： (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy； (X)y’’+5y

求下列微分方程的通解： (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx； (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy； (Ⅲ)y’+2y=sinx； (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy； (X)y’’+5y

admin2019-03-12  62
问题 求下列微分方程的通解：
(I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx；
(Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy；
(Ⅲ)y’+2y=sinx；
(Ⅳ)
(V)
(Ⅵ)
(Ⅶ)
(Ⅷ)
(Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy；
(X)y’’+5y’+6y=ex；
(Ⅺ)y’’+9y=6eos3x．
选项
答案(I)原方程可改写为[*]这是一阶线性微分方程，用积分因子[*]同乘方程两端可得[*]，两边求积分即得通解[*]即 y=C(x一2)+(x一2)3，其中C是任意常数． (Ⅱ)原方程可改写成[*]这是以x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，用积分因子[*] 同乘方程两端可得[*] 两边求积分即得通解[*] 即 x=Ce-arctany+arctany一1，其中C是任意常数． (Ⅲ)用积分因子e2x同乘方程两端，可得[*] 因为 ∫e2xsinxdx=一∫e2xd(cosx)=-e2xcosx+2∫e2xcosxdx=-e2xcosx+2∫e2xd(sinx) =一e2xcosx+2(e2xsinx一2∫e2xsinxdx)=e2x(2sinx一cosx)一4∫e2xsinxdx， [*] 代入即得通解[*]其中C是任意常数． (Ⅳ)原方程可变形为[*]于是，由一阶线性微分 方程公式法，得通解 [*] 故原方程的通解为[*] (V)题设方程为齐次微分方程．当x＞0时[*]可把方程改写成 [*] (Ⅵ)题设方程为齐次微分方程，方程可改写成 [*] (Ⅶ)将y看成自变量，x看成是y的函数x=x(y)，则原方程是齐次微分方程．令[*]代入原方程，得 [*] 这是一个变量可分离型方程，其通解为y(eu+u)=C．所以原微分方程的通解为[*] (Ⅷ)因为y’cosy=(siny)’，令u=siny，则原微分方程化为 u’+u=x． 这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 [*] 所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x一1． (Ⅸ)当y≠0时，将原方程变为如下形式： [*] 所以原方程是一个全微分方程，其通解为 [*] (X)因特征方程是λ2+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0→特征根为λ1=一2，λ2=一3．而自由项f(z)=ex，故可设非齐次方程有特解y*=Aex，代入原方程可确定[*]故方程的通解为 [*] (XI)对应的特征方程为λ2+9=(λ一3i)(λ+3i)=0→特征根为λ1=3i，λ2=一3i，由方程的非齐次项6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式y*=x(Acos3x+Bsin3x)．计算可得 [*] 从而A=0，B=1．综合得通解y=(C2+x)sin3x+C2cos3x．
解析
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考研数学三

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