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求下列微分方程的通解: (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx; (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy; (Ⅲ)y’+2y=sinx; (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy; (X)y’’+5y
求下列微分方程的通解: (I)(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx; (Ⅱ)(1+y2)dx=(aretany一x)dy; (Ⅲ)y’+2y=sinx; (Ⅳ) (V) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ)xdy—ydx=y2eydy; (X)y’’+5y
admin
2019-03-12
37
问题
求下列微分方程的通解:
(I)(x一2)dy=[y+2(x一2)
3
]dx;
(Ⅱ)(1+y
2
)dx=(aretany一x)dy;
(Ⅲ)y’+2y=sinx;
(Ⅳ)
(V)
(Ⅵ)
(Ⅶ)
(Ⅷ)
(Ⅸ)xdy—ydx=y
2
e
y
dy;
(X)y’’+5y’+6y=e
x
;
(Ⅺ)y’’+9y=6eos3x.
选项
答案
(I)原方程可改写为[*]这是一阶线性微分方程,用积分因子[*]同乘方程两端可得[*],两边求积分即得通解[*]即 y=C(x一2)+(x一2)
3
,其中C是任意常数. (Ⅱ)原方程可改写成[*]这是以x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程,用积分因子[*] 同乘方程两端可得[*] 两边求积分即得通解[*] 即 x=Ce
-arctany
+arctany一1,其中C是任意常数. (Ⅲ)用积分因子e
2x
同乘方程两端,可得[*] 因为 ∫e
2x
sinxdx=一∫e
2x
d(cosx)=-e
2x
cosx+2∫e
2x
cosxdx=-e
2x
cosx+2∫e
2x
d(sinx) =一e
2x
cosx+2(e
2x
sinx一2∫e
2x
sinxdx)=e
2x
(2sinx一cosx)一4∫e
2x
sinxdx, [*] 代入即得通解[*]其中C是任意常数. (Ⅳ)原方程可变形为[*]于是,由一阶线性微分 方程公式法,得通解 [*] 故原方程的通解为[*] (V)题设方程为齐次微分方程.当x>0时[*]可把方程改写成 [*] (Ⅵ)题设方程为齐次微分方程,方程可改写成 [*] (Ⅶ)将y看成自变量,x看成是y的函数x=x(y),则原方程是齐次微分方程.令[*]代入原方程,得 [*] 这是一个变量可分离型方程,其通解为y(e
u
+u)=C.所以原微分方程的通解为[*] (Ⅷ)因为y’cosy=(siny)’,令u=siny,则原微分方程化为 u’+u=x. 这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程,其通解为 [*] 所以原微分方程的通解为siny=Ce
-x
+x一1. (Ⅸ)当y≠0时,将原方程变为如下形式: [*] 所以原方程是一个全微分方程,其通解为 [*] (X)因特征方程是λ
2
+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0→特征根为λ
1
=一2,λ
2
=一3.而自由项f(z)=e
x
,故可设非齐次方程有特解y
*
=Ae
x
,代入原方程可确定[*]故方程的通解为 [*] (XI)对应的特征方程为λ
2
+9=(λ一3i)(λ+3i)=0→特征根为λ
1
=3i,λ
2
=一3i,由方程的非齐次项6cos3x可知,应设非齐次方程的特解具有形式y
*
=x(Acos3x+Bsin3x).计算可得 [*] 从而A=0,B=1.综合得通解y=(C
2
+x)sin3x+C
2
cos3x.
解析
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考研数学三
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