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考研
(2006年)设数列{xn)满足0
(2006年)设数列{xn)满足0
admin
2019-03-07
29
问题
(2006年)设数列{x
n
)满足0
1<π,x
n+1
=sinx
n
(n=1,2,…)。
(I)证明
存在,并求该极限;
(Ⅱ)计算
选项
答案
(I)先证明0<x
n
<π,n=1,2,3,…: 当n=1时,结论显然成立; 假设当n=k时,结论成立,也即0<x
k
<π,此时有x
k+1
=sinx
k
>O,同时也有sinx
k
≤1<π,因此,0<x
k+1
<π。由数学归纳法可知,0<x
n
<π,n=1,2,3,…。 再证明{x
n
}单调: 由于x
n
>0,可知x
n+1
=sinx
n
<x
n
,从而{x
n
}是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知,极限[*]存在。令[*]在等式x
n+1
=sinx
n
两端同时令n→∞可得a=sina,解得a=0,也即[*] [*] 因此,这是一个1
∞
型的极限,运用重要极限计算可得 [*]
解析
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考研数学一
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