(2006年)设数列{xn)满足0

admin2019-03-07 22

问题 (2006年)设数列{x_n)满足01<π，x_n+1=sinx_n(n=1，2，…)。
(I)证明

存在，并求该极限；
(Ⅱ)计算

选项

答案(I)先证明0＜x_n＜π，n=1，2，3，…：当n=1时，结论显然成立；假设当n=k时，结论成立，也即0＜x_k＜π，此时有x_k+1=sinx_k＞O，同时也有sinx_k≤1＜π，因此，0＜x_k+1＜π。由数学归纳法可知，0＜x_n＜π，n=1，2，3，…。再证明{x_n}单调：由于x_n＞0，可知x_n+1=sinx_n＜x_n，从而{x_n}是单调递减的。由单调有界收敛定理可知，极限[*]存在。令[*]在等式x_n+1=sinx_n两端同时令n→∞可得a=sina，解得a=0，也即[*] [*] 因此，这是一个1^∞型的极限，运用重要极限计算可得 [*]

解析

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