2. 考研
  3. (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)。证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

(2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)。证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

admin2018-06-30  106
问题 (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)。证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
选项
答案令φ(x)=f(x)一g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若f(x)和g(x)在(a，b)内的同一点处c∈(a，b)取到其最大值，则φ(c)=f(c)一g(c)=0，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理知 [*]ξ1∈(a，c)，使φ’(ξ1)=0；[*]ξ2∈(c，b)，使φ’(ξ2)=0 对φ’(x)在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理得，[*]ξ∈(ξ1，ξ2)，使φ"(ξ)=0 2)若f(x)和g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(x)和g(x)分别在x1和x2(x1＜ x2)取到其在(a，b)内的最大值，则 φ(x1)=f(x1)一g(x1)＞0， φ(x2)=f(x2)一g(x2)＜0 由连续函数的介值定理知，[*]c∈(x1，x2)，使φ(c)=0．以下证明与1)相同．
解析 若令φ(x)=f(x)一g(x)，本题需证存在ξ∈(a，b)，使φ"(ξ)=0，而φ(a)=f(a)一g(a)=0，φ(b)=f(b)一g(b)=0，若能证明存在c∈(a，b)，使φ(c)=0，此时，φ(a)=φ(c)=φ(b)，由罗尔定理可证明存在ξ∈(a，b)，使φ"(ξ)=0．
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考研数学一

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