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设在一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为__________,而事件A至多发生一次的概率为___________.
设在一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为__________,而事件A至多发生一次的概率为___________.
admin
2020-03-18
105
问题
设在一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为__________,而事件A至多发生一次的概率为___________.
选项
答案
1-q
n
(q=1-p);(1-p)
n
+np(1-p)
n-1
解析
由于每次试验中事件A发生的概率都是p,且n次试验相互独立,这是n重伯努利试验概型.设B
k
={n次试验中事件A发生忌次),由命题3.1.2.2得到
P(B
k
)=C
n
k
p
k
(1-p)
n-k
(k=0,1,…,n).
又事件A至少发生一次的概率,由命题3.1.2.3知,A至少发生一次的概率为1-(1-p)
2n
.或
1-P(B
0
)=1-C
n
0
p
0
(1-p)
n-0
=1-(1-p)
n
=1-q
n
(q=1-p).
事件A至多发生一次的概率为
P(B
0
)+P(B
1
)=C
n
0
p
0
(1-p)
n=0
+C
n
1
p(1-p)
n-1
=(1-p)
n
+np(1-p)
n-1
.
注:命题3.1.2.2 设在一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),令事件B
k
={n重伯努利试验概型中事件A恰好发生k次},则
P(B
k
)=C
n
k
p
k
(1-p)
n-k
(k=0,1,2,…,n). (3.1.2.2)
上述公式常称为伯努利概率公式.
在n重伯努利试验概型中除了经常用于计算“恰好发生k次”的概率外,还会被经常用来“计算至少成功一次”或“至少失败一次”的概率.
命题3.1.2.3 若每次试验成功的概率是p(0<p<1),失败的概率为q(q=1-p),则n次试验中至少成功一次的概率为1-(1-p)
n
=1-q
n
,至少失败一次的概率为1-p
n
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DiD4777K
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考研数学三
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