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  3. 设在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________，而事件A至多发生一次的概率为___________．

设在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________，而事件A至多发生一次的概率为___________．

admin2020-03-18  118
问题 设在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________，而事件A至多发生一次的概率为___________．
选项
答案1－qn (q=1－p)；(1－p)n+np(1－p)n－1
解析 由于每次试验中事件A发生的概率都是p，且n次试验相互独立，这是n重伯努利试验概型．设Bk={n次试验中事件A发生忌次)，由命题3．1．2．2得到
                 P(Bk)=Cnkpk(1－p)n－k (k=0，1，…，n)．
  又事件A至少发生一次的概率，由命题3．1．2．3知，A至少发生一次的概率为1－(1－p)2n．或
                    1－P(B0)=1－Cn0p0(1－p)n-0=1－(1－p)n=1－qn  (q=1－p)．
    事件A至多发生一次的概率为
    P(B0)+P(B1)=Cn0p0(1－p)n=0+Cn1p(1－p)n－1=(1－p)n+np(1－p)n－1．
    注：命题3．1．2．2  设在一次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，令事件Bk={n重伯努利试验概型中事件A恰好发生k次}，则
                           P(Bk)=Cnkpk(1－p)n-k  (k=0，1，2，…，n)．    (3．1．2．2)
             上述公式常称为伯努利概率公式．
             在n重伯努利试验概型中除了经常用于计算“恰好发生k次”的概率外，还会被经常用来“计算至少成功一次”或“至少失败一次”的概率．
        命题3．1．2．3  若每次试验成功的概率是p(0＜p＜1)，失败的概率为q(q=1－p)，则n次试验中至少成功一次的概率为1－(1－p)n=1－qn，至少失败一次的概率为1－pn．
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考研数学三

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