设在一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为__________,而事件A至多发生一次的概率为___________.

admin2020-03-18  52

问题 设在一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为__________,而事件A至多发生一次的概率为___________.

选项

答案1-qn (q=1-p);(1-p)n+np(1-p)n-1

解析 由于每次试验中事件A发生的概率都是p,且n次试验相互独立,这是n重伯努利试验概型.设Bk={n次试验中事件A发生忌次),由命题3.1.2.2得到
                 P(Bk)=Cnkpk(1-p)n-k (k=0,1,…,n).
  又事件A至少发生一次的概率,由命题3.1.2.3知,A至少发生一次的概率为1-(1-p)2n.或
                    1-P(B0)=1-Cn0p0(1-p)n-0=1-(1-p)n=1-qn  (q=1-p).
    事件A至多发生一次的概率为
    P(B0)+P(B1)=Cn0p0(1-p)n=0+Cn1p(1-p)n-1=(1-p)n+np(1-p)n-1
    注:命题3.1.2.2  设在一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),令事件Bk={n重伯努利试验概型中事件A恰好发生k次},则
                           P(Bk)=Cnkpk(1-p)n-k  (k=0,1,2,…,n).    (3.1.2.2)
             上述公式常称为伯努利概率公式.
             在n重伯努利试验概型中除了经常用于计算“恰好发生k次”的概率外,还会被经常用来“计算至少成功一次”或“至少失败一次”的概率.
        命题3.1.2.3  若每次试验成功的概率是p(0<p<1),失败的概率为q(q=1-p),则n次试验中至少成功一次的概率为1-(1-p)n=1-qn,至少失败一次的概率为1-pn
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