首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
admin
2017-06-14
83
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得其基础解系 ξ
1
=(2,0,1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
. 对于λ
3
=-3,解齐次线性方程组(-3E-A)x=0,得其基础解系 ξ
3
=(1,0,-2)
T
. 由于ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,由此得 [*] 则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
. 本题求a,b,也可先计算特征多项式,再利用根与系数的关系确定. 二次型厂的矩阵A对应的特征多项式为 [*] =(λ-2)[ λ
2
-(a-2) λ-(2a+b)
2
] 设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则λ
1
=2, λ
2
+λ
3
=a-2, λ
2
λ
3
=-(2a+b
2
).由题设得 λ
1
+λ
2
+λ
3
=2+(a-2)=1, λ
1
λ
2
λ
3
=-2(2a+b
2
)=-12. 得a=1,b=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Dpu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y"+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次方程的通解是
设A是m×n矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是
设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1/2,则μ=___________.
设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B):②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B);④若秩(
设已知线性方程组Ax=b存在2个小吲的解.求λ,a;
设n元线性方程组Ax=b,其中当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1;
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明:(Ⅰ)存在ξi∈(a,b),使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1,2);(Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f’’(η).
k为何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下,求出其全部解.
(1998年试题,十二)已知线性方程组(I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22.…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T.试写出线性方程组(Ⅱ)的通解,并说明理由.
判断下列函数的单调性:
随机试题
下列关于Word2010文件的保存说法中,错误的是()。
恶热、汗出、口渴、疲乏、尿黄,舌红、苔黄,脉虚数,属于()
升药的功效是
塔吊安装方案应由()单位编写。
下列有关态度与行为的关系描述不正确的是()。
不同法的形式具有不同的效力等级,下列各项中,效力低于地方性法规的是()。
某商品分别在购物网站和实体店进行销售,利润率都是100%。为了促销,网站推出该商品买二赠一活动,实体店在提高一定价钱后以六折销售,结果两者利润仍然相同。问实体店提高的价钱占该商品原来售价的比例是多少?
学与教相互作用的过程是由__________、____________和评价/反思过程三种活动过程交织在一起的。
某学校有一批树苗需要栽种在学院路两旁,每隔5米栽一棵。已知每个学生栽4棵树,则有202棵树没有人栽;每个学生栽5棵树,则有348人可以少栽一棵。问学院路共有多少米?
以下哪项列出的四名队员可以共同参加比赛?()如果H不参加比赛,则参加比赛的队员必然包括以下哪两名?()
最新回复
(
0
)