2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2017-06-14  124
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3． 对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，得其基础解系 ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T． 对于λ3=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x=0，得其基础解系 ξ3=(1，0，－2)T． 由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，由此得 [*] 则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y12+2y22－3y32． 本题求a，b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定． 二次型厂的矩阵A对应的特征多项式为 [*] =(λ－2)[ λ2－(a－2) λ－(2a+b) 2] 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则λ1=2， λ2+λ3=a－2， λ2λ3=－(2a+b2)．由题设得 λ1+λ2+λ3=2+(a－2)=1， λ1λ2λ3=－2(2a+b2)=－12． 得a=1，b=2．
解析
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考研数学一

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