设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2017-06-14 105

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²－2x₃²+2bx₁x₃(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=－3．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，得其基础解系 ξ₁=(2，0，1)^T，ξ₂=(0，1，0)^T．对于λ₃=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x=0，得其基础解系 ξ₃=(1，0，－2)^T．由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，由此得 [*] 则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y₁²+2y₂²－3y₃²．本题求a，b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定．二次型厂的矩阵A对应的特征多项式为 [*] =(λ－2)[ λ²－(a－2) λ－(2a+b) ²] 设A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则λ₁=2， λ₂+λ₃=a－2， λ₂λ₃=－(2a+b²)．由题设得 λ₁+λ₂+λ₃=2+(a－2)=1， λ₁λ₂λ₃=－2(2a+b²)=－12．得a=1，b=2．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

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设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是

设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有

设对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记α=，β=证明二次型，对应的矩阵为2ααT+ββT；

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

如果某种商品的需求收入弹性为2，则这种商品为()

符合胸膜摩擦音特点的是

所谓Roger病是指

下列情形中，属于施工作业人员的安全生产义务的是()。

“爱国守法”的教师职业道德规范规定的具体职业行为要求是()

据统计。某地区家庭整体收入用于娱乐消费的比例一直维持在15％左右。这个比例不会随着新技术的出现而扩大。因此，受线上家庭3D影院技术的冲击，电影院的票房收入也会随之减少。以下哪项，如果为真，最能动摇上述论证?

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