设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2017-06-14 62

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²－2x₃²+2bx₁x₃(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=－3．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，得其基础解系 ξ₁=(2，0，1)^T，ξ₂=(0，1，0)^T．对于λ₃=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x=0，得其基础解系 ξ₃=(1，0，－2)^T．由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，由此得 [*] 则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y₁²+2y₂²－3y₃²．本题求a，b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定．二次型厂的矩阵A对应的特征多项式为 [*] =(λ－2)[ λ²－(a－2) λ－(2a+b) ²] 设A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则λ₁=2， λ₂+λ₃=a－2， λ₂λ₃=－(2a+b²)．由题设得 λ₁+λ₂+λ₃=2+(a－2)=1， λ₁λ₂λ₃=－2(2a+b²)=－12．得a=1，b=2．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

考研数学一

当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱仪装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，乙箱中次品件数X的数学期望=；(2)从乙箱中任一件产品是次品的概率=___．

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a,b的值及方稗组的通解．

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．令P=(α1，α2，α3)，求p-1AP.

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

设A是n阶矩阵，A的第i行、第i列的元素aii=i.j，求A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

判断下列函数的单调性：

证明：当x＞0时，2-≤lnx≤

心悸实证的病机是

扫描机架单向连续旋转X线管曝光，检查床同时不停顿单向移动并采集数据的扫描方式是

关于中国人民银行的监督管理权，下列说法正确的是()。

隋唐五代是我国文化史上一个鼎盛期，名作纷出，《游春图卷》、《牧马图》、《五牛图》、《韩熙载夜宴图》的作者依次是()。

关于遗忘的理论解释有()。

设D=｛(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π｝，则sinxsiny·max｛x，y｝如等于()．

在以下各通用顶级域名中，(56)表示网络机构。

关于Python遍历循环，以下选项中描述错误的是

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b>0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

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