选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(I)D={(x，y)|y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)|x2+y2＞0}．

admin2017-07-28 43

问题选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi—x²(x⁴+y²)^λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(I)D={(x，y)|y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)|x²+y²＞0}．

选项

答案记A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件[*]定出参数λ． [*] (I)由于D={(x，y)|y＞0；是单连通，λ=一1是存在u(x，y)使du=Pdx+Qdy的充要条件，因此仅当λ=一1时存在u(x，y)使(P，Q))为u的梯度．现求u(x，y)，使得du(x,y)=[*] 凑微分法． [*] (Ⅱ)D={(x，y)|x²+y²＞0}是非单连通区域，[*]((x，y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数．我们再取环绕(0，0)的闭曲线C：x⁴+y²=1，逆时针方向，求出 [*] 其中D₀是C围成的区域，它关于y轴对称．于是∫_LPdx+Qdy在D与路径无关，即Pdx+Qdy在D存在原函数．因此，仅当λ=一1时A(x，y)=(P，Q)在D为某二元函数u(x，y)的梯度．

解析

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选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(I)D={(x，y)|y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)|x2+y2＞0}．

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