证明：A～B，其中并求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．

admin2022-04-05 14

问题证明：A～B，其中

并求可逆矩阵P，使得P^－1AP=B．

选项

答案由A知，A的全部特征值是1，2，…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B．由于当λ₁=1时，(λ₁E－A)X=0，有特征向量ξ₁=[1，0，…，0]^T；当λ₂=2时，(λ₂E－A)X=0，有特征向量ξ₂=[0，1，…，0]^T；当λ_n=n时，(λ_nE－A)X=0，有特征向量ξ_n=[0，0，…，1]^T．故有 Aξ_n=nξ_n，Aξ_n－1=(n－1)ξ_n－1，…，Aξ₁=ξ₁，即 A[ξ_n，ξ_n－1，…，ξ₁]=[nξ_n，(n－1)ξ_n－1，…，ξ₁]=[ξ_n，ξ_n－1，…，ξ₁] [*] 故得可逆矩阵 P=[ξ_n，ξ_n－1，…，ξ₁]= [*] 有P^－1AP=B．

解析

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考研数学一

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