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设f(x)在(0,+∞)内可导,下述论断正确的是 ( )
设f(x)在(0,+∞)内可导,下述论断正确的是 ( )
admin
2014-04-23
58
问题
设f(x)在(0,+∞)内可导,下述论断正确的是 ( )
选项
A、设存在X>0,在区间(X,+∞)内f
’
(x)有界,则,f
’
(x)在(X,+∞)内亦必有界.
B、设存在X>0,在区间(X,+∞)内f(x)有界,则f
’
(x)在(X,+∞)内亦必有界.
C、设存在δ>0,在区间(0,δ)内f
’
(x)有界,则f(x)在(0,δ)内亦必有界.
D、设存在δ>0,在区间(0,δ)内f(x)有界,则f
’
(x)在(0,δ)内亦必有界.
答案
C
解析
C的证明.因为在(0,δ)内f
’
(x)有界,所以存在M>0,当0<x<δ时,|f
’
(x)|≤M.对于区间(0,δ)内的任意x,另取同定的x
0
∈(0,δ),有|f(x)|=f(x)-|f(x)+f(x
0
)|≤|f(x)一f(x
0
)|+|f(x
0
)|=|f
’
(ξ)(x一x
0
)|+f(x
0
)|<Mδ+f(x
0
)|.所以f(x)在区间(0,δ)内有界.A的反例:f(x)=x,f
’
(x)=1.在区间(1,+∞)内f
’
(x)有界.但f(x)在(1,+∞)内无界.B的反例:
在区间(1,+∞)内f(x)有界,在(1,+∞)内f
’
(x)无界.D的反例:
在区间(0,1)内,f(x)有界.在(0,1)内f
’
(x)无界.
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考研数学一
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