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  3. 设f(x)在(0，+∞)内可导，下述论断正确的是 ( )

设f(x)在(0，+∞)内可导，下述论断正确的是 ( )

admin2014-04-23  52
问题 设f(x)在(0，+∞)内可导，下述论断正确的是    (    )
选项 A、设存在X>0，在区间(X，+∞)内f’(x)有界，则，f’(x)在(X，+∞)内亦必有界．
B、设存在X＞0，在区间(X，+∞)内f(x)有界，则f’(x)在(X，+∞)内亦必有界．
C、设存在δ＞0，在区间(0，δ)内f’(x)有界，则f(x)在(0，δ)内亦必有界．
D、设存在δ＞0，在区间(0，δ)内f(x)有界，则f’(x)在(0，δ)内亦必有界．
答案C
解析 C的证明．因为在(0，δ)内f’(x)有界，所以存在M>0，当0＜x＜δ时，｜f’(x)｜≤M．对于区间(0，δ)内的任意x，另取同定的x0∈(0，δ)，有｜f(x)｜=f(x)－｜f(x)+f(x0)｜≤｜f(x)一f(x0)｜+｜f(x0)｜=｜f’(ξ)(x一x0)｜+f(x0)｜＜Mδ+f(x0)｜．所以f(x)在区间(0，δ)内有界．A的反例：f(x)=x，f’(x)=1．在区间(1，+∞)内f’(x)有界．但f(x)在(1,+∞)内无界．B的反例：

在区间(1，+∞)内f(x)有界，在(1，+∞)内f’(x)无界．D的反例：

在区间(0，1)内，f(x)有界．在(0，1)内f’(x)无界．
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考研数学一

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