(2008年)已知曲线C：求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点。

admin2019-03-07 50

问题 (2008年)已知曲线C：

求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点。

选项

答案方法一：点(x，y，z)到xOy面的距离为|z|，故求C上距离xOy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数H=z²在条件x²+y²一2z²=0，x+y+3z=5下的最大值点和最小值点。构造拉格朗日函数 L(x，y，z，λ，μ)=z²+λ(x²+y²一2z²)+μ(x+y+3z一5)，由 [*] 得x=y，从而[*]解得[*] 根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)。方法二：点(x，y，z)到xOy面的距离为|x|，故求C上距离xOy面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数H=x²+y²在条件[*]下的最大值点和最小值点。构造拉格朗日函数 [*] 得x=y，从而 [*] 根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)。

解析

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考研数学一

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