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(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a); (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且=A,则f′+(0)存在,且f
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a); (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且=A,则f′+(0)存在,且f
admin
2018-12-29
51
问题
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a);
(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且
=A,则f′
+
(0)存在,且f′
+
(0)=A。
选项
答案
(Ⅰ)作辅助函数φ(x)=f(x)—f(a)—[*](x—a),易验证φ(x)满足φ(a)=φ(b);φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 [*] 根据罗尔定理,可得至少有一点ξ∈(a,b),使φ′(ξ)=0,即 [*] 所以f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)。 (Ⅱ)任取x
0
∈(0,δ),则函数f(x)在闭区间[0,x
0
]上连续,开区间(0,x
0
)内可导,因此由拉格朗日中值定理可知,存在ξ
x
0
∈(0,x
0
)[*](0,δ),使得 [*] 又由于[*]=A,对(1)式两边取x
0
→0
0
时的极限 [*] 故f′
+
(0)存在,且f′
+
(0)=A。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FJM4777K
0
考研数学一
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