2. 考研
  3. 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量且y(0)=π，则y(1)=__________．

当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量且y(0)=π，则y(1)=__________．

admin2019-02-20  43
问题 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量且y(0)=π，则y(1)=__________．
选项
答案[*]
解析 首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)－y(x0)=y(1)－y(0)=y(1)－π，代入△y的表达式即得
                    y(1)－π=π+αy(1)=2π+α．
    由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．
    由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分
            
    这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y|x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．
    将方程分离变量，得
    求积分可得于是可解出
    由初始条件y(0)=π可确定从而
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考研数学三

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