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设矩阵A= (1)若A有一个特征值为3,求a; (2)求可逆矩阵P,使得PTA2P为对角矩阵.
设矩阵A= (1)若A有一个特征值为3,求a; (2)求可逆矩阵P,使得PTA2P为对角矩阵.
admin
2018-01-23
43
问题
设矩阵A=
(1)若A有一个特征值为3,求a;
(2)求可逆矩阵P,使得P
T
A
2
P为对角矩阵.
选项
答案
(1)|λE-A|=(λ
2
-1)[λ
2
-(a+2)λ+2a-1], 把λ=3代入上式得a=2,于是A=[*]. (2)由|λE-A
2
|=0得A
2
的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1,λ
4
=9. 当λ=1时,由(E-A
2
)X=0得α
1
=(1,0,0,0)
T
,α
2
=(0,1,0,0)
T
,α
3
=(0,0,-1,1)
T
; 当λ=9时,由(9E-A
2
)X=0得α
4
=(0,0,1,1)
T
. 将α
1
,α
2
,α
3
正交规范化得β
1
=(1,0,0,0)
T
,β
2
=(0,1,0,0)
T
, β
3
=[*] 将α
4
规范化得β
4
=[*] 令P=(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)=[*].
解析
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考研数学三
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