证明不等式(a＋b)ea+b＜ae2a＋be2b当b＞a＞0时成立．

admin2018-06-12 39

问题证明不等式(a＋b)e^a+b＜ae^2a＋be^2b当b＞a＞0时成立．

选项

答案不等式可改写为ae^a(e^b－e^a)＜be^b(e^b－e^a)，因b＞a＞0时e^b＞e^a，从而又可改写为等价形式ae^a＜be^b．把b改写为χ，引入函数f(χ)＝χe^χ，即需证f(χ)＞f(a)当χ＞a＞0时成立．因为f′(χ)＝(χ＋1)e^χ＞0当χ＞0时成立，从而f(χ)在区间[a，＋∞)(a＞0)上单调增加，故当χ＞a时f(χ)＞f(a)成立，即原不等式成立．

解析

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考研数学一

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