设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3,且秩r(A)=1,β=(-1,2,2)T. 求Anβ;

admin2021-02-25  16

问题 设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3,且秩r(A)=1,β=(-1,2,2)T
求Anβ;

选项

答案由已知A的特征值λ1=3,其对应的一个特征向量为α1=(1,1,1)T,又由r(A)=1,且A可相似对角化知A有二重特征值λ23=0.设其对应的特征向量为x=(x1,x2,x3)T,于是有(x,α1)=0,即x1+x2+x3=0,解得λ23=0对应的特征向量为 [*],k1,k2为不同时为0的任意常数. 取α2=(-1,1,0)T,α3=(-1,0,1)T,显然α1,α2,α3线性无关,于是β可由α1,α2,α3线性表示,即x1α1+x2α2+x3α3=β,解得x1=1,x2=1,x3=1. 故α123=β,所以 Anβ=An123)=Anα1+Anα2+Anα3n1α1n2α2n3α3=3nα1. =(3n,3n,3n)T

解析 本题考查矩阵的幂运算.
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