2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3，且秩r(A)=1，β=(-1，2，2)T． 求Anβ；

设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3，且秩r(A)=1，β=(-1，2，2)T． 求Anβ；

admin2021-02-25  32
问题 设3阶实对称矩阵A的每行元素之和为3，且秩r(A)=1，β=(-1，2，2)T．
求Anβ；
选项
答案由已知A的特征值λ1=3，其对应的一个特征向量为α1=(1，1，1)T，又由r(A)=1，且A可相似对角化知A有二重特征值λ2=λ3=0．设其对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，于是有(x，α1)=0，即x1+x2+x3=0，解得λ2=λ3=0对应的特征向量为 [*]，k1，k2为不同时为0的任意常数． 取α2=(-1，1，0)T，α3=(-1，0，1)T，显然α1，α2，α3线性无关，于是β可由α1，α2，α3线性表示，即x1α1+x2α2+x3α3=β，解得x1=1，x2=1，x3=1． 故α1+α2+α3=β，所以 Anβ=An(α1+α2+α3)=Anα1+Anα2+Anα3=λn1α1+λn2α2+λn3α3=3nα1． =(3n，3n，3n)T．
解析 本题考查矩阵的幂运算．
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考研数学二

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