求下列曲线积分: (Ⅰ)I=∮L|xy|ds,其中L:=1(a>b>0); (Ⅱ)I=∫Ly2 ds,其中平面曲线L为旋轮线(0≤t≤2π)的一拱; (Ⅲ)I=∫L(x+y)ds,其中L为双纽线r2=a2cos2θ(极坐标方程)的右面一瓣.

admin2018-11-21  31

问题 求下列曲线积分:
(Ⅰ)I=∮L|xy|ds,其中L:=1(a>b>0);
(Ⅱ)I=∫Ly2 ds,其中平面曲线L为旋轮线(0≤t≤2π)的一拱;
(Ⅲ)I=∫L(x+y)ds,其中L为双纽线r2=a2cos2θ(极坐标方程)的右面一瓣.

选项

答案(Ⅰ)由于积分弧段的对称性与被积函数为偶函数,所以能够只在第一象限求积分.又由于椭圆的参数方程为x=acost,y=bsint,因此 [*] (Ⅲ)L是双纽线的右瓣:r2=a2cos2θ,[*].L关于x轴对称,y关于y为奇函数,于是有∫Lyds=0.从而I=∫Lxds.由极坐标方程下曲线积分的计算公式得 [*]

解析
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