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(2004年)设随机变量X的分布函数为F(x;α,β)=其中参数α>0,β>1。设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本。 (Ⅰ)当α=1时,求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ)当α=1时,求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ)
(2004年)设随机变量X的分布函数为F(x;α,β)=其中参数α>0,β>1。设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本。 (Ⅰ)当α=1时,求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ)当α=1时,求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ)
admin
2018-04-23
67
问题
(2004年)设随机变量X的分布函数为F(x;α,β)=
其中参数α>0,β>1。设X
1
,X
2
,…,X
n
为来自总体X的简单随机样本。
(Ⅰ)当α=1时,求未知参数β的矩估计量;
(Ⅱ)当α=1时,求未知参数β的最大似然估计量;
(Ⅲ)当β=2时,求未知参数α的最大似然估计量。
选项
答案
X的概率密度f(x;β)=F’(x;α,β)=[*] (Ⅰ)故当α=1时,X的概率密度为f(x;β)=[*]由于 E(X)=∫
-∞
+∞
xf(x,β)dx=∫
1
+∞
x.(β/x
β+1
)dx=β/β-1 令[*],所以参数β的矩估计量为β=[*] (Ⅱ)对于总体X的样本值x
1
,x
2
,…,x
n
,似然函数为 [*] 当x
i
>1(i=1,2,…,n)时,L(β)>0,取对数得lnL(β)=nlnβ-(β+1)[*]lnx,对β求导数,得 [*] (Ⅲ)当β=2时,X的概率密度为f(x;α)=[*]对于总体X的样本值x
1
,x
2
,…,x
n
,似然函数为 [*] 当x
i
>α(i=1,2,…,n)时,α越大,L(α)越大,即α的最大似然估计值为α=min{x
1
,x
2
,…,x
n
},于是α的最大似然估计量为[*]=min{X
1
,X
2
,…,X
n
}。
解析
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考研数学三
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